Ասոցիատիվ ընդդեմ կոմուտատիվ
Մեր առօրյա կյանքում մենք պետք է թվեր օգտագործենք ամեն անգամ, երբ ինչ-որ բան չափելու կարիք ունենք: Մթերային խանութում, բենզալցակայանում և նույնիսկ խոհանոցում մենք պետք է երկու և ավելի քանակներ ավելացնենք, հանենք և բազմապատկենք։ Մեր պրակտիկայից մենք այս հաշվարկները կատարում ենք բավականին առանց ջանքերի: Մենք երբեք չենք նկատում կամ հարցադրում չենք անում, թե ինչու ենք այս գործողություններն անում այս կոնկրետ ձևով: Կամ ինչու այս հաշվարկները չեն կարող կատարվել այլ կերպ: Պատասխանը թաքնված է հանրահաշվի մաթեմատիկական դաշտում այս գործողությունների սահմանման մեջ:
Հանրահաշվում երկու մեծություններ պարունակող գործողությունը (օրինակ՝ գումարումը) սահմանվում է որպես երկուական գործողություն:Ավելի ճիշտ, դա գործողություն է բազմության երկու տարրերի միջև, և այդ տարրերը կոչվում են «օպերանդ»: Մաթեմատիկայում շատ գործողություններ, ներառյալ թվաբանական գործողությունները, որոնք արդեն նշվել են, ինչպես նաև բազմությունների տեսության մեջ, գծային հանրահաշիվը և մաթեմատիկական տրամաբանությունը, կարող են սահմանվել որպես երկուական գործողություններ:
Կա մի շարք կառավարող կանոններ, որոնք վերաբերում են կոնկրետ երկուական գործողությանը: Ասոցիատիվ և կոմուտատիվ հատկությունները երկուական գործողությունների երկու հիմնական հատկություններն են:
Ավելին Commutative սեփականության մասին
Ենթադրենք երկուական գործողություն, որը նշվում է ⊗ նշանով, կատարվում է A և B տարրերի վրա: Եթե օպերանդների հերթականությունը չի ազդում գործողության արդյունքի վրա, ապա գործողությունը կոչվում է կոմուտատիվ: այսինքն, եթե A ⊗ B=B ⊗ A, ապա գործողությունը փոխադարձ է:
Թվաբանական գործողությունները գումարումը և բազմապատկումը փոխադրական են: Միասին գումարված կամ բազմապատկված թվերի հերթականությունը չի ազդում վերջնական պատասխանի վրա.
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Բայց բաժանման դեպքում կարգի փոփոխությունը տալիս է մյուսի փոխադարձը, իսկ հանման դեպքում փոփոխությունը տալիս է մյուսի բացասականը: Հետևաբար, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 և 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 և 5 ÷ 4=1,25 [այս դեպքում A, B ≠ 1 և 0]
Իրականում, ասում են, որ հանումը հակակոմուտատիվ է. որտեղ A – B=– (B – A).
Նաև տրամաբանական կապերը, կապը, դիսյունկցիան, ենթատեքստը և համարժեքությունը նույնպես փոխադարձ են: Ճշմարտության ֆունկցիաները նույնպես փոխադարձ են: Սահմանված գործողությունների միավորումը և խաչմերուկը կոմուտատիվ են: Վեկտորների գումարումը և սկալյար արտադրյալը նույնպես կոմուտատիվ են։
Բայց վեկտորային հանումը և վեկտորային արտադրյալը կոմուտատիվ չեն (երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը հակակոմուտատիվ է): Մատրիցային գումարումը կոմուտատիվ է, բայց բազմապատկումն ու հանումը կոմուտատիվ չեն։(Երկու մատրիցների բազմապատկումը կարող է լինել կոմուտատիվ հատուկ դեպքերում, օրինակ՝ մատրիցի բազմապատկումն իր հակադարձ կամ նույնական մատրիցով, բայց հաստատ մատրիցները կոմուտատիվ չեն, եթե մատրիցները նույն չափի չեն)
Ավելին ասոցիատիվ սեփականության մասին
Երկուական գործողությունը ասվում է որպես ասոցիատիվ, եթե կատարման հերթականությունը չի ազդում արդյունքի վրա, երբ առկա են օպերատորի երկու կամ ավելի դեպքեր: Դիտարկենք A, B և C տարրերը և երկուական գործողությունը ⊗: Գործողությունը ⊗ ասվում է որպես ասոցիատիվ, եթե
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Հիմնական թվաբանական ֆունկցիաներից միայն գումարումն ու բազմապատկումն են ասոցիատիվ։
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Հանումը և բաժանումը ասոցիատիվ չեն;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 և (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 և (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
Տրամաբանական միացումների դիսյունցիան, կապը և համարժեքությունը ասոցիատիվ են, ինչպես նաև միություն և խաչմերուկ գործողությունների բազմություն: Մատրիցը և վեկտորի գումարումը ասոցիատիվ են: Վեկտորների սկալյար արտադրյալը ասոցիատիվ է, իսկ վեկտորային արտադրյալը՝ ոչ։ Մատրիցային բազմապատկումը ասոցիատիվ է միայն հատուկ հանգամանքներում:
Ո՞րն է տարբերությունը կոմուտատիվ և ասոցիատիվ սեփականության միջև:
• Ե՛վ ասոցիատիվ հատկությունը, և՛ կոմուտատիվ հատկությունը երկուական գործողությունների հատուկ հատկություններ են, և որոշները բավարարում են դրանք, իսկ որոշները՝ ոչ:
• Այս հատկությունները կարելի է տեսնել հանրահաշվական գործողությունների և մաթեմատիկայի այլ երկուական գործողությունների բազմաթիվ ձևերում, ինչպիսիք են հատումը և միավորումը բազմությունների տեսության մեջ կամ տրամաբանական միացումները:
• Կոմուտատիվ և ասոցիատիվ տարբերությունն այն է, որ կոմուտատիվ հատկությունը նշում է, որ տարրերի հերթականությունը չի փոխում վերջնական արդյունքը, մինչդեռ ասոցիատիվ հատկությունը նշում է, որ գործողությունների կատարման հերթականությունը չի ազդում վերջնական պատասխանի վրա:.
