Զուգահեռագիծ ընդդեմ ուղղանկյուն
Զուգահեռագիծը և ուղղանկյունը քառանկյուն են: Այս պատկերների երկրաչափությունը մարդուն հայտնի է եղել հազարավոր տարիներ: Թեման հստակորեն վերաբերվում է հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսի «Տարրեր» գրքում։
Զուգահեռագիծ
Զուգահեռագիծը կարող է սահմանվել որպես չորս կողմ ունեցող երկրաչափական պատկեր, որոնց հակառակ կողմերը միմյանց զուգահեռ են: Ավելի ճիշտ քառանկյուն է՝ երկու զույգ զուգահեռ կողմերով։ Այս զուգահեռ բնույթը տալիս է բազմաթիվ երկրաչափական բնութագրեր զուգահեռագրերին:
Քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե գտնված են հետևյալ երկրաչափական բնութագրերը:
• Երկու զույգ հակադիր կողմերի երկարությունը հավասար է: (AB=DC, AD=BC)
• Երկու զույգ հակադիր անկյունները չափերով հավասար են: ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Եթե հարակից անկյունները լրացուցիչ են [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi ռադ[/latex]
• Զույգ կողմերը, որոնք միմյանց հակառակ են, զուգահեռ են և հավասար երկարությամբ: (AB=DC & AB∥DC)
• Անկյունագծերը կիսում են միմյանց (AO=OC, BO=OD)
• Յուրաքանչյուր անկյունագիծ քառանկյունը բաժանում է երկու համընկնող եռանկյունների: (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Այնուհետև, կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է անկյունագծերի քառակուսիների գումարին: Սա երբեմն կոչվում է զուգահեռագրության օրենք և լայն կիրառություն ունի ֆիզիկայում և ճարտարագիտության մեջ: (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Վերոնշյալ բնութագրերից յուրաքանչյուրը կարող է օգտագործվել որպես հատկություն, երբ հաստատվի, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է հաշվարկել մի կողմի երկարության և հակառակ կողմի բարձրության արտադրյալով: Հետևաբար, զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է համարել
Զուգահեռագծի մակերես=հիմք × բարձրություն=AB×h
Զուգահեռագծի մակերեսը անկախ է առանձին զուգահեռագծի ձևից: Այն կախված է միայն հիմքի երկարությունից և ուղղահայաց բարձրությունից:
Եթե զուգահեռագծի կողմերը կարելի է ներկայացնել երկու վեկտորով, ապա տարածքը կարելի է ստանալ երկու հարակից վեկտորների վեկտորի արտադրյալի մեծությամբ:
Եթե AB և AD կողմերը ներկայացված են համապատասխանաբար ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) և ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) վեկտորներով, ապա վեկտորների մակերեսը զուգահեռագիծը տրված է [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], որտեղ α-ն անկյունն է [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] և [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] միջև։
Հետևում են զուգահեռագծի մի քանի առաջադեմ հատկություններ;
• Զուգահեռագծի մակերեսը երկու անգամ մեծ է եռանկյան մակերեսից, որը ստեղծված է նրա ցանկացած անկյունագծով:
• Զուգահեռագծի մակերեսը կիսով չափ բաժանվում է միջնակետով անցնող ցանկացած ուղիղով:
• Ցանկացած ոչ այլասերված աֆինային փոխակերպում զուգահեռագիծը տեղափոխում է մեկ այլ զուգահեռագիծ
• Զուգահեռագիծն ունի 2 կարգի պտտվող համաչափություն
• Զուգահեռագծի ցանկացած ներքին կետից մինչև կողմերի հեռավորությունների գումարը անկախ է կետի գտնվելու վայրից
Ուղղանկյուն
Չորս ուղղանկյուն ունեցող քառանկյունը հայտնի է որպես ուղղանկյուն: Սա զուգահեռագծի հատուկ դեպք է, երբ ցանկացած երկու հարակից կողմերի միջև անկյունները ուղիղ են:
Զուգահեռագծի բոլոր հատկություններից բացի, ուղղանկյան երկրաչափությունը դիտարկելիս կարելի է ճանաչել լրացուցիչ բնութագրեր:
• գագաթների յուրաքանչյուր անկյուն ուղիղ անկյուն է:
• Անկյունագծերը երկարությամբ հավասար են, և դրանք կիսում են միմյանց: Հետևաբար, կիսատ հատվածները նույնպես երկարությամբ հավասար են։
• Անկյունագծերի երկարությունը կարելի է հաշվարկել Պյութագորասի թեորեմի միջոցով՝
PQ2 + PS2 =SQ2
• Տարածքի բանաձևը կրճատվում է մինչև երկարության և լայնության արտադրյալը:
Ուղղանկյան մակերես=երկարություն × լայնություն
• Ուղղանկյունի վրա հայտնաբերվել են բազմաթիվ սիմետրիկ հատկություններ, ինչպիսիք են;
– Ուղղանկյունը ցիկլային է, որտեղ բոլոր գագաթները կարող են տեղադրվել շրջանագծի պարագծի վրա:
– Այն հավասարանկյուն է, որտեղ բոլոր անկյունները հավասար են:
– Այն իզոգոնալ է, որտեղ բոլոր անկյունները գտնվում են նույն սիմետրիկ ուղեծրի մեջ։
– Այն ունի և՛ արտացոլման համաչափություն, և՛ պտտվող համաչափություն:
Ո՞րն է տարբերությունը զուգահեռագծի և ուղղանկյունի միջև:
• Զուգահեռագիծը և ուղղանկյունը քառանկյուն են: Ուղղանկյունը զուգահեռագծի հատուկ դեպքն է:
• Ցանկացածի մակերեսը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով հիմք ×բարձրություն բանաձևը:
• Հաշվի առնելով անկյունագծերը;
– Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսում են միմյանց, իսկ զուգահեռագիծը կիսում են՝ կազմելով երկու համընկնող եռանկյուններ։
– Ուղղանկյան անկյունագծերը երկարությամբ հավասար են և կիսվում են միմյանցից; կիսատ հատվածները երկարությամբ հավասար են։ Անկյունագծերը կիսում են ուղղանկյունը երկու համընկնող ուղղանկյուն եռանկյունների։
• Հաշվի առնելով ներքին անկյունները;
– Զուգահեռագծի հակադիր ներքին անկյունները չափերով հավասար են։ Երկու հարակից ներքին անկյունները լրացուցիչ են
– Ուղղանկյան բոլոր չորս ներքին անկյունները ուղիղ անկյուններ են:
• հաշվի առնելով կողմերը;
– Զուգահեռագիծում կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է անկյունագծի քառակուսիների գումարին (Զուգահեռագծի օրենք)
– Ուղղանկյուններում երկու կից կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է ծայրերում գտնվող անկյունագծի քառակուսուն: (Պյութագորասի կանոն)
