Օրթոգոնալ ընդդեմ Օրթոնորմալ
Մաթեմատիկայում ուղղանկյուն և օրթոնորմալ երկու բառերը հաճախ օգտագործվում են վեկտորների մի շարքի հետ միասին: Այստեղ «վեկտոր» տերմինն օգտագործվում է այն իմաստով, որ դա վեկտորային տարածության տարր է՝ գծային հանրահաշիվում օգտագործվող հանրահաշվական կառուցվածք: Մեր քննարկման համար մենք կդիտարկենք ներքին արտադրական տարածությունը՝ V վեկտորային տարածություն և ներքին արտադրյալ , որը սահմանված է V-ում։
Որպես օրինակ, ներքին արտադրյալի համար տարածությունը բոլոր եռաչափ դիրքի վեկտորների բազմությունն է սովորական կետային արտադրյալի հետ միասին:
Ի՞նչ է ուղղանկյունը:
Ներքին արտադրական տարածության S ոչ դատարկ ենթաբազմությունը համարվում է ուղղանկյուն, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր առանձին u, v S-ի համար, [u, v]=0; այսինքն u-ի և v-ի ներքին արտադրյալը հավասար է զրոյական սկալարի ներքին արտադրական տարածության մեջ։
Օրինակ, բոլոր եռաչափ դիրքի վեկտորների բազմության մեջ սա համարժեք է նրան, որ յուրաքանչյուր առանձին զույգ դիրքի վեկտորների համար p և q S-ում, p և q-ն ուղղահայաց են միմյանց: (Հիշեք, որ այս վեկտորային տարածության ներքին արտադրյալը կետային արտադրյալն է: Նաև երկու վեկտորների կետային արտադրյալը հավասար է 0-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե երկու վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց:)
Դիտարկենք S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} բազմությունը, որը եռաչափ դիրքի վեկտորների ենթաբազմություն է։ Նկատի ունեցեք, որ (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Այսպիսով, S բազմությունը ուղղանկյուն է: Մասնավորապես, երկու վեկտորներին ասում են, որ ուղղանկյուն են, եթե նրանց ներքին արտադրյալը 0 է: Հետևաբար, վեկտորների յուրաքանչյուր զույգ Sis-ի ուղղանկյուն:
Ի՞նչ է օրթոնորմալը:
Վ ներքին արտադրական տարածության S ոչ դատարկ ենթաբազմություն ասվում է օրթոնորմալ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե S-ն ուղղանկյուն է, և յուրաքանչյուր u վեկտորի համար S-ում [u, u]=1: Հետևաբար, կարելի է տեսնել, որ յուրաքանչյուր օրթոնորմալ բազմություն ուղղանկյուն է, բայց ոչ հակառակը:
Օրինակ, բոլոր եռաչափ դիրքի վեկտորների բազմության մեջ սա համարժեք է նրան, որ S-ում p և q դիրքի վեկտորների յուրաքանչյուր առանձին զույգի համար p և q ուղղահայաց են միմյանց, և յուրաքանչյուր p-ն S-ում, |p|=1. Դա պայմանավորված է նրանով, որ [p, p]=1 պայմանը նվազում է p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, որը համարժեք է |p-ի |=1. Հետևաբար, հաշվի առնելով ուղղանկյուն բազմությունը, մենք միշտ կարող ենք ձևավորել համապատասխան օրթոնորմալ բազմություն՝ յուրաքանչյուր վեկտորը բաժանելով իր մեծության վրա:
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} բոլոր եռաչափ դիրքի վեկտորների բազմության օրթոնորմալ ենթաբազմություն է: Հեշտ է տեսնել, որ այն ստացվել է S բազմության վեկտորներից յուրաքանչյուրը բաժանելով նրանց մեծությունների վրա։
Ո՞րն է տարբերությունը ուղղանկյունի և օրթոնորմալի միջև:
- Վ ներքին արտադրական տարածության S ոչ դատարկ ենթաբազմությունը ասվում է ուղղանկյուն, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր առանձին u, v S-ում, [u, v]=0: Այնուամենայնիվ, այն օրթոնորմալ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե լրացուցիչ պայման – յուրաքանչյուր u վեկտորի համար S-ում, [u, u]=1 բավարարված է:
- Ցանկացած օրթոնորմալ հավաքածու ուղղանկյուն է, բայց ոչ հակառակը:
- Ցանկացած ուղղանկյուն բազմություն համապատասխանում է եզակի օրթոնորմալ բազմությանը, սակայն օրթոնորմալ բազմությունը կարող է համապատասխանել բազմաթիվ ուղղանկյուն բազմությունների:
