Զուգահեռագիծ ընդդեմ քառանկյուն
Քառանկյունները և զուգահեռականները Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ հայտնաբերված բազմանկյուններ են: Զուգահեռագիծը քառանկյան հատուկ դեպք է: Քառանկյունները կարող են լինել հարթ (2D) կամ եռաչափ, մինչդեռ զուգահեռականները միշտ հարթ են:
Քառանկյուն
Քառանկյունը չորս կողմ ունեցող բազմանկյուն է: Այն ունի չորս գագաթ, իսկ ներքին անկյունների գումարը 3600 է (2π ռադ)։ Քառանկյունները դասակարգվում են ինքնահատվող և պարզ քառանկյուն կատեգորիաների: Ինքնհատվող քառանկյուններն ունեն միմյանց հատող երկու կամ ավելի կողմեր, և ավելի փոքր երկրաչափական պատկերներ (օրինակ՝ քառանկյունի ներսում ձևավորվում են եռանկյուններ)։
Պարզ քառանկյունները նույնպես բաժանվում են ուռուցիկ և գոգավոր քառանկյունների։ Գոգավոր քառանկյուններն ունեն հարակից կողմեր, որոնք պատկերի ներսում ռեֆլեքսային անկյուններ են կազմում: Պարզ քառանկյունները, որոնք ներքին ռեֆլեքսային անկյուններ չունեն, ուռուցիկ քառանկյուններ են: Ուռուցիկ քառանկյունները միշտ կարող են ունենալ տառատեսակներ:
Սկզբնական մակարդակներում քառանկյունների երկրաչափության հիմնական մասը վերաբերում է ուռուցիկ քառանկյուններին: Որոշ քառանկյուններ մեզ շատ ծանոթ են տարրական դպրոցի ժամանակներից։ Ստորև ներկայացված է դիագրամ, որը ցույց է տալիս տարբեր ուռուցիկ քառանկյուններ:
Զուգահեռագիծ
Զուգահեռագիծը կարող է սահմանվել որպես չորս կողմ ունեցող երկրաչափական պատկեր, որոնց հակառակ կողմերը միմյանց զուգահեռ են: Ավելի ճիշտ քառանկյուն է՝ երկու զույգ զուգահեռ կողմերով։ Այս զուգահեռ բնույթը տալիս է բազմաթիվ երկրաչափական բնութագրեր զուգահեռագրերին:
Քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե գտնված են հետևյալ երկրաչափական բնութագրերը:
• Երկու զույգ հակադիր կողմերի երկարությունը հավասար է: (AB=DC, AD=BC)
• Երկու զույգ հակադիր անկյունները չափերով հավասար են: ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Եթե հարակից անկյունները լրացուցիչ են [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi ռադ[/latex]
• Զույգ կողմերը, որոնք միմյանց հակառակ են, զուգահեռ են և հավասար երկարությամբ: (AB=DC & AB∥DC)
• Անկյունագծերը կիսում են միմյանց (AO=OC, BO=OD)
• Յուրաքանչյուր անկյունագիծ քառանկյունը բաժանում է երկու համընկնող եռանկյունների: (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Այնուհետև, կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է անկյունագծերի քառակուսիների գումարին:Սա երբեմն կոչվում է զուգահեռագրության օրենք և լայն կիրառություն ունի ֆիզիկայում և ճարտարագիտության մեջ: (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Վերոնշյալ բնութագրերից յուրաքանչյուրը կարող է օգտագործվել որպես հատկություն, երբ հաստատվի, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է հաշվարկել մի կողմի երկարության և հակառակ կողմի բարձրության արտադրյալով: Հետևաբար, զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է համարել
Զուգահեռագծի մակերես=հիմք × բարձրություն=AB×h
Զուգահեռագծի մակերեսը անկախ է առանձին զուգահեռագծի ձևից: Այն կախված է միայն հիմքի երկարությունից և ուղղահայաց բարձրությունից:
Եթե զուգահեռագծի կողմերը կարելի է ներկայացնել երկու վեկտորով, ապա տարածքը կարելի է ստանալ երկու հարակից վեկտորների վեկտորի արտադրյալի մեծությամբ:
Եթե AB և AD կողմերը ներկայացված են համապատասխանաբար ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) և ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) վեկտորներով, ապա վեկտորների մակերեսը զուգահեռագիծը տրված է [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], որտեղ α-ն անկյունն է [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] և [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] միջև։
Հետևում են զուգահեռագծի մի քանի առաջադեմ հատկություններ;
• Զուգահեռագծի մակերեսը երկու անգամ մեծ է եռանկյան մակերեսից, որը ստեղծված է նրա ցանկացած անկյունագծով:
• Զուգահեռագծի մակերեսը կիսով չափ բաժանվում է միջնակետով անցնող ցանկացած ուղիղով:
• Ցանկացած ոչ այլասերված աֆինային փոխակերպում զուգահեռագիծը տեղափոխում է մեկ այլ զուգահեռագիծ
• Զուգահեռագիծն ունի 2 կարգի պտտվող համաչափություն
• Զուգահեռագծի ցանկացած ներքին կետից մինչև կողմերի հեռավորությունների գումարը անկախ է կետի գտնվելու վայրից
Ո՞րն է տարբերությունը զուգահեռագծի և քառանկյունի միջև:
• Քառանկյունները չորս կողմերով բազմանկյուններ են (երբեմն կոչվում են քառանկյուն), մինչդեռ զուգահեռագիծը քառանկյունի հատուկ տեսակ է:
• Քառանկյունները կարող են ունենալ իրենց կողմերը տարբեր հարթություններում (3d տարածության մեջ), մինչդեռ զուգահեռագծի բոլոր կողմերը գտնվում են նույն հարթության վրա (հարթ/2չափ):
• Քառանկյան ներքին անկյունները կարող են ընդունել ցանկացած արժեք (ներառյալ ռեֆլեքսային անկյունները), որպեսզի դրանք գումարվեն մինչև 3600: Զուգահեռանկյունները կարող են ունենալ միայն բութ անկյուններ որպես առավելագույն տիպի անկյուն:
• Քառանկյան չորս կողմերը կարող են տարբեր երկարություններ ունենալ, մինչդեռ զուգահեռագծի հակառակ կողմերը միշտ զուգահեռ են միմյանց և հավասար են երկարությամբ:
• Ցանկացած շեղանկյուն զուգահեռագիծը բաժանում է երկու համահունչ եռանկյունների, մինչդեռ ընդհանուր քառանկյունի անկյունագծով կազմված եռանկյունները պարտադիր չէ, որ համահունչ լինեն:
