Power Series vs Taylor Series
Մաթեմատիկայում իրական հաջորդականությունը իրական թվերի դասավորված ցանկն է: Ֆորմալ առումով այն բնական թվերի բազմությունից մինչև իրական թվերի բազմություն ֆունկցիա է: Եթե an-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է, մենք հաջորդականությունը նշում ենք 1-ով կամ ըստ 1-ի:, a 2, …, an, …. Օրինակ, դիտարկեք 1, ½, ⅓, …, 1 հաջորդականությունը / n, …. Այն կարող է նշանակվել որպես {1/n}։
Հնարավոր է շարք սահմանել՝ օգտագործելով հաջորդականությունը: Շարքը հաջորդականության տերմինների գումարն է: Հետևաբար, յուրաքանչյուր հաջորդականության համար կա կապված հաջորդականություն և հակառակը:Եթե {an}-ը դիտարկվող հաջորդականությունն է, ապա այդ հաջորդականությամբ կազմված շարքը կարող է ներկայացվել որպես՝
Այսպիսով, վերը նշված օրինակում, կապված շարքը 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Ինչպես հուշում են անվանումները, հզորության շարքը սերիայի հատուկ տեսակ է և այն լայնորեն օգտագործվում է թվային վերլուծության և հարակից մաթեմատիկական մոդելավորման մեջ: Taylor շարքը հատուկ հզորության շարք է, որն ապահովում է հայտնի գործառույթները ներկայացնելու այլընտրանքային և հեշտ կառավարելի եղանակ:
Ի՞նչ է Power շարքը:
Հզորության շարքըձևի շարք է
որը կոնվերգենտ է (հնարավոր է) ինչ-որ միջակայքի համար՝ կենտրոնացված c. anգործակիցները կարող են լինել իրական կամ բարդ թվեր և անկախ x-ից; այսինքն՝ կեղծ փոփոխականը։
Օրինակ, սահմանելով an=1 յուրաքանչյուր n-ի համար և c=0, հզորության շարքը 1+x+x2 +…..+ x+… ստացվում է: Հեշտ է նկատել, որ երբ x ε (-1, 1), այս հզորության շարքը համընկնում է 1/(1-x):
Հզորության շարքը համընկնում է, երբ x=c: x-ի մյուս արժեքները, որոնց համար հզորության շարքը համընկնում է, միշտ կունենան բաց միջակայքի ձև, որը կենտրոնացած է c-ում: Այսինքն՝ կլինի 0≤ R ≤ ∞ այնպիսի արժեք, որ յուրաքանչյուր x-ի համար բավարարող |x-c|≤ R-ի համար հզորության շարքը կոնվերգենտ է, իսկ յուրաքանչյուր x-ի համար բավարարող |x-c|> R-ի համար հզորության շարքը դիվերգենտ է: R այս արժեքը կոչվում է հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղ (R-ն կարող է վերցնել ցանկացած իրական արժեք կամ դրական անսահմանություն):
Հզորության շարքերը կարելի է ավելացնել, հանել, բազմապատկել և բաժանել՝ օգտագործելով հետևյալ կանոնները. Դիտարկենք երկու հզորության շարքերը՝
Հետո,
այսինքն. նման տերմինները գումարվում կամ հանվում են միասին: Նաև, հնարավոր է բազմապատկել և բաժանել երկու ուժային շարքերը՝ օգտագործելով նույնականությունը՝
Ի՞նչ է Թեյլորի շարքը:
Թեյլորի շարքը սահմանվում է f (x) ֆունկցիայի համար, որն անսահմանորեն տարբերվում է միջակայքում: Ենթադրենք, f (x)-ը տարբերելի է c-ի վրա կենտրոնացած ինտերվալի վրա: Այնուհետև հզորության շարքը, որը տրված է -ով
կոչվում է f (x) ֆունկցիայի Թեյլորի շարքի ընդլայնում c-ի մասին: (Այստեղ f(n) (գ) նշանակեք n-րդածանցյալը x=c-ում): Թվային վերլուծությունում այս անվերջ ընդլայնման մեջ տերմինների վերջավոր թիվը օգտագործվում է այն կետերում արժեքները հաշվարկելիս, որտեղ շարքը կոնվերգենտ է սկզբնական ֆունկցիային:
A f (x) ֆունկցիան վերլուծական է (a, b) միջակայքում, եթե յուրաքանչյուր x ε (a, b) f (x)-ի Թեյլորի շարքը համընկնում է f ֆունկցիայի հետ (x). Օրինակ, 1/(1-x) վերլուծական է (-1, 1), քանի որ նրա Taylor ընդլայնումը 1+x+x2+….+ x +… համընկնում է այդ ինտերվալի ֆունկցիային, և ex-ը վերլուծական է ամենուր, քանի որ ex-ի Թեյլորի շարքը համընկնում է e-ին: x յուրաքանչյուր x իրական թվի համար:
Ո՞րն է տարբերությունը Power շարքերի և Taylor շարքերի միջև:
1. Թեյլորի շարքը հզորության շարքերի հատուկ դաս է, որը սահմանվում է միայն այն ֆունկցիաների համար, որոնք անսահմանորեն տարբերվում են որոշ բաց միջակայքում:
2. Թեյլորի շարքը ստանում է հատուկ ձև
քանի որ հզորության շարքը կարող է լինելձևի ցանկացած շարք
