Տարբերությունը Ռիմանի ինտեգրալի և Լեբեգի ինտեգրալի միջև

2024 Հեղինակ: Alex Aldridge | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 13:41

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Ինտեգրումը հաշվարկի հիմնական թեման է: Ավելի լայն իմաստով ինտեգրումը կարող է դիտվել որպես տարբերակման հակառակ գործընթաց: Իրական աշխարհի խնդիրները մոդելավորելիս հեշտ է գրել ածանցյալներ ներառող արտահայտություններ: Նման իրավիճակում ինտեգրման գործողությունը պահանջվում է գտնելու գործառույթը, որը տվել է կոնկրետ ածանցյալը:

Մեկ այլ տեսանկյունից ինտեգրումը գործընթաց է, որն ամփոփում է ƒ(x) և δx ֆունկցիայի արտադրյալը, որտեղ δx-ը հակված է որոշակի սահմանի: Ահա թե ինչու, մենք օգտագործում ենք ինտեգրման նշանը որպես ∫: ∫ խորհրդանիշն իրականում այն է, ինչ մենք ստանում ենք՝ ձգելով s տառը, որպեսզի վերաբերի գումարին:

Riemann Integral

Դիտարկենք y=ƒ(x) ֆունկցիան: y-ի ինտեգրալը a-ի և b-ի միջև, որտեղ a-ն և b-ը պատկանում են x բազմությանը, գրված է որպես _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a): Սա կոչվում է a-ի և b-ի միջև y=ƒ(x) մեկ արժեքավոր և շարունակական ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ։ Սա տալիս է կորի տակ գտնվող տարածքը a-ի և b-ի միջև: Սա նաև կոչվում է Ռիմանի ինտեգրալ։ Ռիմանի ինտեգրալը ստեղծվել է Բերնհարդ Ռիմանի կողմից։ Շարունակական ֆունկցիայի Ռիմանի ինտեգրալը հիմնված է Ջորդանի չափման վրա, հետևաբար այն նաև սահմանվում է որպես ֆունկցիայի Ռիմանի գումարների սահման։ Փակ միջակայքում սահմանված իրական արժեքավոր ֆունկցիայի համար ֆունկցիայի Ռիմանի ինտեգրալը՝ x₁, x₂, …, x բաժանման նկատմամբ: n_{, սահմանված է [a, b] և t}1_{, t}2_{, …, t n}, որտեղ x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 համար յուրաքանչյուր i ε {1, 2, …, n}, Ռիմանի գումարը սահմանվում է որպես Σ_{i=o մինչև n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i):

Lebesgue Integral

Լեբեգը ինտեգրալի մեկ այլ տեսակ է, որն ընդգրկում է դեպքերի լայն տեսականի, քան Ռիմանի ինտեգրալը: Լեբեգի ինտեգրալը ներդրվել է Անրի Լեբեգի կողմից 1902 թվականին: Լեգեսգի ինտեգրումը կարելի է համարել որպես Ռիմանի ինտեգրման ընդհանրացում:

Ինչու՞ պետք է ուսումնասիրենք մեկ այլ ինտեգրալ:

Եկեք դիտարկենք բնորոշ ֆունկցիան ƒ_{A (x)=}{_{0, եթե, x ոչ ε A}^{1 եթե, x ε A} A բազմության վրա: Այնուհետև բնորոշ ֆունկցիաների վերջավոր գծային համակցություն, որը սահմանվում է որպես F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե E} i_{-ը չափելի է յուրաքանչյուր i-ի համար: F (x)-ի Լեբեգի ինտեգրալը E-ի նկատմամբ նշանակվում է} E_{∫ ƒ(x)dx: F (x) ֆունկցիան Ռիմանի ինտեգրելի չէ: Հետևաբար, Lebesgue ինտեգրալը վերափոխում է Riemann ինտեգրալը, որն ունի որոշ սահմանափակումներ ինտեգրվելիք գործառույթների վերաբերյալ:}

Ո՞րն է տարբերությունը Riemann Integral-ի և Lebesgue Integral-ի միջև:

· Լեբեգի ինտեգրալը Ռիմանի ինտեգրալի ընդհանրացման ձևն է:

· Լեբեգի ինտեգրալը թույլ է տալիս հաշվելի անվերջություն, մինչդեռ Ռիմանի ինտեգրալը թույլ է տալիս վերջավոր թվով ընդհատումներ: