Ածանցյալ ընդդեմ ինտեգրալ
Տարբերակումը և ինտեգրումը հաշվարկի երկու հիմնարար գործողություններ են: Նրանք բազմաթիվ կիրառություններ ունեն մի քանի ոլորտներում, ինչպիսիք են մաթեմատիկան, ճարտարագիտությունը և ֆիզիկան: Ե՛վ ածանցյալ, և՛ ինտեգրալը քննարկում են մեզ հետաքրքրող ֆիզիկական էության ֆունկցիայի կամ վարքագիծը:
Ի՞նչ է ածանցյալը:
Ենթադրենք y=ƒ(x) և x0-ը ƒ-ի տիրույթում է: Ապա limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx կոչվում է ƒ-ի փոփոխության ակնթարթային արագություն x0-ում:, պայմանով, որ այս սահմանը գոյություն ունի վերջնականապես:Այս սահմանը կոչվում է նաև at-ի ածանցյալ և նշվում է ƒ(x):-ով
F ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը ֆունկցիայի տիրույթում x կամայական կետում տրված է limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx: Սա նշվում է հետևյալ արտահայտություններից որևէ մեկով. y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Մի քանի փոփոխական ունեցող ֆունկցիաների համար մենք սահմանում ենք մասնակի ածանցյալ: Մի քանի փոփոխականներով ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը նրա ածանցյալն է այդ փոփոխականներից մեկի նկատմամբ՝ ենթադրելով, որ մյուս փոփոխականները հաստատուններ են։ Մասնակի ածանցյալի խորհրդանիշն է ∂.
Երկրաչափորեն ֆունկցիայի ածանցյալը կարող է մեկնաբանվել որպես ƒ(x) ֆունկցիայի կորի թեքություն.
Ի՞նչ է ինտեգրալը:
Ինտեգրումը կամ հակատարբերակումը տարբերակման հակառակ գործընթացն է: Այլ կերպ ասած, դա բնօրինակ ֆունկցիա գտնելու գործընթացն է, երբ տրված է ֆունկցիայի ածանցյալը։Հետևաբար, ƒ(x) ֆունկցիայի ինտեգրալը կամ հակաածանցյալը, եթե, ƒ(x)=F (x) կարող է սահմանվել որպես F (x) ֆունկցիա՝ բոլոր x-ի համար ƒ(x) տիրույթում։
∫ƒ(x) dx արտահայտությունը նշանակում է ƒ(x) ֆունկցիայի ածանցյալը: Եթե ƒ(x)=F (x), ապա ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, որտեղ C-ն հաստատուն է, ∫ƒ(x) dx-ը կոչվում է ƒ(x)-ի անորոշ ինտեգրալ::
Որևէ ƒ ֆունկցիայի համար, որն անպայմանորեն ոչ բացասական է և սահմանված է [a, b], a∫b միջակայքում ƒ(x) dx-ը կոչվում է որոշակի ինտեգրալ ƒ [a, b]-ի վրա։
Որոշակի ինտեգրալ a∫bƒ(x) dx ƒ(x) ֆունկցիայի կարող է երկրաչափականորեն մեկնաբանվել որպես տարածք շրջան, որը սահմանափակված է ƒ(x) կորով, x առանցքով և x=a և x=b ուղիղներով։
Ո՞րն է տարբերությունը ածանցյալի և ինտեգրալի միջև:
• Ածանցյալը գործընթացի տարբերակման արդյունքն է, մինչդեռ ինտեգրալը գործընթացի ինտեգրման արդյունքն է:
• Ֆունկցիայի ածանցյալը ներկայացնում է կորի թեքությունը տվյալ կետում, մինչդեռ ինտեգրալը ներկայացնում է կորի տակ գտնվող տարածքը:
