Գծային հավասարում ընդդեմ ոչ գծային հավասարման
Մաթեմատիկայում հանրահաշվական հավասարումները հավասարումներ են, որոնք ձևավորվում են բազմանդամների միջոցով։ Հստակ գրելու դեպքում հավասարումները կլինեն P(x)=0 ձևի, որտեղ x-ը n անհայտ փոփոխականների վեկտոր է, իսկ P-ն բազմանդամ է: Օրինակ, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 հանրահաշվական հավասարում է երկու փոփոխականների մեջ, որը գրված է բացահայտորեն:. Նաև (x+y)3 =3x2y – 3zy4 հանրահաշվական հավասարում է, բայց անուղղակի ձևով և այն կունենա Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, մեկ անգամ բացահայտ գրված:
Հանրահաշվական հավասարման կարևոր հատկանիշը նրա աստիճանն է: Այն սահմանվում է որպես հավասարման մեջ հայտնված տերմինների ամենաբարձր հզորությունը: Եթե անդամը բաղկացած է երկու կամ ավելի փոփոխականներից, յուրաքանչյուր փոփոխականի ցուցիչների գումարը կընդունվի որպես անդամի հզորություն: Նկատի ունեցեք, որ այս սահմանման համաձայն P(x, y)=0-ը 5-րդ աստիճանի է, մինչդեռ Q(x, y, z)=0-ը 5-րդ աստիճանի է:
Գծային հավասարումները և ոչ գծային հավասարումները հանրահաշվական հավասարումների բազմության վրա սահմանված երկբաժանմունք են։ Հավասարման աստիճանը դրանք միմյանցից տարբերող գործոնն է։
Ի՞նչ է գծային հավասարումը:
Գծային հավասարումը 1-ին աստիճանի հանրահաշվական հավասարումն է: Օրինակ, 4x + 5=0-ը մեկ փոփոխականի գծային հավասարումն է: x + y + 5z=0 և 4x=3w + 5y + 7z համապատասխանաբար 3 և 4 փոփոխականների գծային հավասարումներ են: Ընդհանուր առմամբ, n փոփոխականների գծային հավասարումը կունենա m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =բ. Այստեղ xi-ն անհայտ փոփոխականներն են, mi-երը և b-ն իրական թվեր են, որտեղ mi-ից յուրաքանչյուրը -ը զրոյական չէ:
Նման հավասարումը ներկայացնում է հիպեր հարթություն n-չափական Էվկլիդեսյան տարածության մեջ: Մասնավորապես, երկու փոփոխական գծային հավասարումը ներկայացնում է ուղիղ գիծ դեկարտյան հարթությունում, իսկ երեք փոփոխական գծային հավասարումը ներկայացնում է հարթություն Էվկլիդեսյան 3-տարածության վրա:
Ի՞նչ է ոչ գծային հավասարումը:
Քառակուսի հավասարումը հանրահաշվական հավասարում է, որը գծային չէ: Այլ կերպ ասած, ոչ գծային հավասարումը 2 կամ ավելի բարձր աստիճանի հանրահաշվական հավասարումն է: x2 + 3x + 2=0 մեկ փոփոխական ոչ գծային հավասարում է: x2 + y3+ 3xy=4 և 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 համապատասխանաբար 3 և 4 փոփոխականների ոչ գծային հավասարումների օրինակներ են:
Երկրորդ աստիճանի ոչ գծային հավասարումը կոչվում է քառակուսի հավասարում: Եթե աստիճանը 3 է, ապա այն կոչվում է խորանարդ հավասարում։4-րդ աստիճանի և 5-րդ աստիճանի հավասարումները կոչվում են համապատասխանաբար քառորդ և քվինտիկ հավասարումներ։ Ապացուցված է, որ 5-րդ աստիճանի ոչ գծային հավասարումը լուծելու վերլուծական մեթոդ գոյություն չունի, և դա ճիշտ է նաև ցանկացած բարձր աստիճանի համար: Լուծելի ոչ գծային հավասարումները ներկայացնում են հիպերմակերևույթներ, որոնք հիպեր հարթություններ չեն:
Ո՞րն է տարբերությունը գծային և ոչ գծային հավասարման միջև:
• Գծային հավասարումը 1-ին աստիճանի հանրահաշվական հավասարումն է, բայց ոչ գծային հավասարումը 2-րդ կամ ավելի բարձր աստիճանի հանրահաշվական հավասարումն է:
• Չնայած ցանկացած գծային հավասարում վերլուծականորեն լուծելի է, դա այդպես չէ ոչ գծային հավասարումների դեպքում:
• n-չափական Էվկլիդեսյան տարածությունում n-փոփոխական գծային հավասարման լուծման տարածությունը հիպեր հարթություն է, մինչդեռ n-փոփոխական ոչ գծային հավասարումը հիպերմակերևույթ է, որը հիպեր հարթություն չէ: (քվադրիկներ, խորանարդ մակերեսներ և այլն)
