Գծային ընդդեմ ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ
Անհայտ փոփոխականի առնվազն մեկ դիֆերենցիալ գործակից կամ ածանցյալ պարունակող հավասարումը հայտնի է որպես դիֆերենցիալ հավասարում: Դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է լինել գծային կամ ոչ գծային: Այս հոդվածի նպատակն է բացատրել, թե որն է գծային դիֆերենցիալ հավասարումը, որն է ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումը և որն է տարբերությունը գծային և ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների միջև:
18-րդ դարում հաշվման մշակումից ի վեր այնպիսի մաթեմատիկոսների կողմից, ինչպիսիք են Նյուտոնը և Լեյբնիցը, դիֆերենցիալ հավասարումը կարևոր դեր է խաղացել մաթեմատիկայի պատմության մեջ:Դիֆերենցիալ հավասարումները մեծ նշանակություն ունեն մաթեմատիկայի մեջ իրենց կիրառության շրջանակի պատճառով: Դիֆերենցիալ հավասարումները գտնվում են յուրաքանչյուր մոդելի հիմքում, որը մենք մշակում ենք՝ բացատրելու ցանկացած սցենար կամ իրադարձություն աշխարհում՝ լինի դա ֆիզիկայի, ճարտարագիտության, քիմիայի, վիճակագրության, ֆինանսական վերլուծության կամ կենսաբանության մեջ (ցուցակը անվերջ է): Իրականում, քանի դեռ հաշվարկը չի դարձել հաստատված տեսություն, համապատասխան մաթեմատիկական գործիքներն անհասանելի էին բնության հետաքրքիր խնդիրները վերլուծելու համար:
Հաշվի կոնկրետ կիրառությունից ստացված հավասարումները կարող են լինել շատ բարդ և երբեմն անլուծելի: Այնուամենայնիվ, կան այնպիսիք, որոնք մենք կարող ենք լուծել, բայց կարող են նման լինել և շփոթեցնող: Հետևաբար, ավելի հեշտ նույնականացման համար դիֆերենցիալ հավասարումները դասակարգվում են ըստ իրենց մաթեմատիկական վարքի: Գծային և ոչ գծայինը նման դասակարգումներից մեկն է: Կարևոր է բացահայտել գծային և ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների տարբերությունը:
Ի՞նչ է գծային դիֆերենցիալ հավասարումը:
Ենթադրենք, որ f: X→Y և f(x)=y, y անհայտ ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների ոչ գծային տերմինների դիֆերենցիալ հավասարումը հայտնի է որպես գծային դիֆերենցիալ հավասարում:
Այն պարտադրում է պայման, որ y-ն չի կարող ունենալ ավելի բարձր ինդեքսային տերմիններ, ինչպիսիք են y2, y3, … և ածանցյալների բազմապատիկները, ինչպիսիք են. որպես
Այն նաև չի կարող պարունակել ոչ գծային տերմիններ, ինչպիսիք են Sin y, e y ^-2 կամ ln y: Այն ընդունում է ձևը,
որտեղ y-ն և g-ը x-ի ֆունկցիաներն են: Հավասարումը n կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է, որն ամենաբարձր կարգի ածանցյալի ինդեքսն է։
Գծային դիֆերենցիալ հավասարման մեջ դիֆերենցիալ օպերատորը գծային օպերատոր է, իսկ լուծումները կազմում են վեկտորային տարածություն։ Լուծումների բազմության գծային բնույթի արդյունքում լուծումների գծային համակցությունը նույնպես դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է։ Այսինքն, եթե y1 և y2 դիֆերենցիալ հավասարման լուծումներ են, ապա C1 y 1+ C2 y2 նույնպես լուծում է:
Հավասարման գծայինությունը դասակարգման միայն մեկ պարամետր է, և այն կարող է հետագայում դասակարգվել միատարր կամ ոչ միատարր և սովորական կամ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների:Եթե ֆունկցիան g=0 է, ապա հավասարումը գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում է: Եթե f-ը երկու կամ ավելի անկախ փոփոխականների ֆունկցիա է (f: X, T→Y) և f(x, t)=y, ապա հավասարումը գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարում է։
Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման մեթոդը կախված է դիֆերենցիալ հավասարման տեսակից և գործակիցներից: Ամենահեշտ դեպքն առաջանում է, երբ գործակիցները հաստատուն են։ Այս դեպքի համար դասական օրինակ է Նյուտոնի շարժման երկրորդ օրենքը և դրա տարբեր կիրառությունները: Նյուտոնի երկրորդ օրենքը առաջացնում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով:
Ի՞նչ է ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումը:
Հավասարումները, որոնք պարունակում են ոչ գծային տերմիններ, հայտնի են որպես ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ:
Բոլոր վերը նշվածը ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ են: Ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումները դժվար է լուծել, հետևաբար, ճիշտ լուծում ստանալու համար անհրաժեշտ է մանրակրկիտ ուսումնասիրություն: Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների դեպքում հավասարումների մեծ մասը չունի ընդհանուր լուծում։ Հետևաբար, յուրաքանչյուր հավասարում պետք է ինքնուրույն վերաբերվի:
Նավիեր-Սթոքսի հավասարումը և Էյլերի հավասարումը հեղուկների դինամիկայի մեջ, Էյնշտեյնի ընդհանուր հարաբերականության դաշտի հավասարումները հայտնի ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են: Երբեմն Լագրանժի հավասարման կիրառումը փոփոխական համակարգի վրա կարող է հանգեցնել ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի:
Ո՞րն է տարբերությունը գծային և ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների միջև:
• Դիֆերենցիալ հավասարումը, որն ունի միայն անհայտ կամ կախված փոփոխականի և նրա ածանցյալների գծային անդամները, հայտնի է որպես գծային դիֆերենցիալ հավասարում: Այն չունի 1-ից բարձր ցուցանիշի կախյալ փոփոխական ունեցող տերմին և չի պարունակում իր ածանցյալների որևէ բազմապատիկ: Այն չի կարող ունենալ ոչ գծային ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, էքսպոնենցիալ ֆունկցիան և լոգարիթմական ֆունկցիաները կախված փոփոխականի նկատմամբ։ Ցանկացած դիֆերենցիալ հավասարում, որը պարունակում է վերը նշված տերմինները, ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարում է:
• Գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները ստեղծում են վեկտորային տարածություն, իսկ դիֆերենցիալ օպերատորը նաև գծային օպերատոր է վեկտորային տարածության մեջ:
• Գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները համեմատաբար ավելի հեշտ են, և կան ընդհանուր լուծումներ: Ոչ գծային հավասարումների դեպքում, շատ դեպքերում, ընդհանուր լուծում գոյություն չունի, և լուծումը կարող է հատուկ լինել խնդրին: Սա լուծումը շատ ավելի դժվար է դարձնում, քան գծային հավասարումները:
