Տարբերություն լոգարիթմական և էքսպոնենցիալ միջև

2024 Հեղինակ: Alex Aldridge | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 13:41

Լոգարիթմական ընդդեմ էքսպոնենցիալ | Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ընդդեմ լոգարիթմական ֆունկցիայի

Ֆունկցիաները մաթեմատիկական առարկաների ամենակարևոր դասերից են, որոնք լայնորեն կիրառվում են մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ենթաոլորտներում։ Ինչպես ցույց են տալիս նրանց անունները, և՛ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, և՛ լոգարիթմական ֆունկցիան երկու հատուկ ֆունկցիա են:

Ֆունկցիան հարաբերություն է երկու բազմությունների միջև, որոնք սահմանված են այնպես, որ առաջին բազմության յուրաքանչյուր տարրի համար երկրորդ բազմության մեջ դրան համապատասխանող արժեքը եզակի է: Թող ƒ լինի ֆունկցիա, որը սահմանված է A բազմությունից B բազմություն: Այնուհետև յուրաքանչյուր x ϵ A-ի համար ƒ(x) նշանը նշանակում է B բազմության եզակի արժեքը, որը համապատասխանում է x-ին:Այն կոչվում է x-ի պատկեր ƒ-ի տակ: Հետևաբար, ƒ հարաբերությունը A-ից B-ն ֆունկցիա է, եթե և միայն, եթե յուրաքանչյուր x ϵ A և y ϵ A, եթե x=y, ապա ƒ(x)=ƒ(y): A բազմությունը կոչվում է ƒ ֆունկցիայի տիրույթ, և դա այն բազմությունն է, որով սահմանված է ֆունկցիան։

Ի՞նչ է էքսպոնենցիալ ֆունկցիան:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը տրված է ƒ(x)=e^x, որտեղ e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) և տրանսցենդենտալ իռացիոնալ թիվ է: Ֆունկցիայի առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ ֆունկցիայի ածանցյալն իրեն հավասար է. այսինքն, երբ y=e^x, dy/dx=e^x Նաև ֆունկցիան ամենուր անընդհատ աճող ֆունկցիա է, որն ունի x առանցքը որպես ասիմպտոտ: Հետևաբար, գործառույթը նույնպես մեկ առ մեկ է: Յուրաքանչյուր x ϵ R-ի համար մենք ունենք e^x> 0, և կարելի է ցույց տալ, որ այն գտնվում է R ⁺-ի վրա: Նաև այն հետևում է հիմնական նույնականությանը: e^x+y=e^xe^y և e⁰ =1. Ֆունկցիան կարող է ներկայացվել նաև 1 + x/1-ով տրված շարքի ընդլայնման միջոցով: + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Ի՞նչ է լոգարիթմական ֆունկցիան:

Լոգարիթմական ֆունկցիան էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձն է։ Քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան մեկ առ մեկ է և R ⁺-ի վրա, ապա դրական իրական թվերի բազմությունից g ֆունկցիան կարող է սահմանվել g(y-ով տրված իրական թվերի բազմության մեջ:)=x, եթե և միայն, y=e^x Այս ֆունկցիան g կոչվում է լոգարիթմական ֆունկցիա կամ ամենից հաճախ որպես բնական լոգարիթմ: Այն նշվում է g(x)=log e^{x=ln x: Քանի որ այն էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ է, եթե էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկի արտացոլումը վերցնենք y=x ուղղի վրա, ապա կունենանք լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այսպիսով, ֆունկցիան ասիմպտոտիկ է y առանցքի նկատմամբ։}

Լոգարիթմական ֆունկցիան հետևում է մի քանի հիմնական կանոնների, որոնցից ամենակարևորն են ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y և ln xy=y ln x: Սա նույնպես աճող ֆունկցիա է, և այն շարունակական է ամենուր։ Հետևաբար, այն նաև մեկ առ մեկ է:Կարելի է ցույց տալ, որ այն գտնվում է R-ի վրա:

Ո՞րն է տարբերությունը էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և լոգարիթմական ֆունկցիայի միջև:

• Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան տրված է ƒ(x)=e^{x-ով, մինչդեռ լոգարիթմական ֆունկցիան տրված է g(x)=ln x-ով, իսկ նախկինը հակադարձ է: վերջին.}

• Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տիրույթը իրական թվերի բազմություն է, իսկ լոգարիթմական ֆունկցիայի տիրույթը դրական իրական թվերի բազմություն է։

• Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի միջակայքը դրական իրական թվերի բազմություն է, իսկ լոգարիթմական ֆունկցիայի միջակայքը իրական թվերի բազմություն է։