Փոխադարձ բացառիկ ընդդեմ անկախ իրադարձությունների
Մարդիկ հաճախ շփոթում են միմյանց բացառող իրադարձությունների հասկացությունը անկախ իրադարձությունների հետ: Իրականում սրանք երկու տարբեր բաներ են։
Թող A և B լինեն ցանկացած երկու իրադարձություն, որոնք կապված են պատահական E փորձի հետ: P(A)-ն կոչվում է «A-ի հավանականություն»: Նմանապես, մենք կարող ենք սահմանել B-ի հավանականությունը որպես P(B), A-ի կամ B-ի հավանականությունը որպես P(A∪B), և A-ի և B-ի հավանականությունը որպես P(A∩B): Այնուհետև՝ P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Սակայն, ասվում է, որ երկու իրադարձություն միմյանց բացառող են, եթե մի իրադարձության առաջացումը չի ազդում մյուսի վրա: Այսինքն՝ դրանք միաժամանակ չեն կարող առաջանալ։ Հետևաբար, եթե A և B երկու իրադարձությունները միմյանց բացառող են, ապա A∩B=∅ և հետևաբար, դա ենթադրում է P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Թող A-ն և B-ն երկու իրադարձություն լինեն S նմուշի տարածքում: A-ի պայմանական հավանականությունը, հաշվի առնելով, որ B-ն տեղի է ունեցել, նշվում է P(A | B)-ով և սահմանվում է որպես. P(A | B)=P(A∩B)/P(B), տրամադրված է P(B)>0: (հակառակ դեպքում, այն սահմանված չէ:)
A իրադարձությունը համարվում է անկախ B իրադարձությունից, եթե A-ի տեղի ունենալու հավանականությունը չի ազդում B-ի տեղի ունեցած-չեղած լինելու վրա: Այլ կերպ ասած, B իրադարձության արդյունքը որևէ ազդեցություն չունի A իրադարձության արդյունքի վրա: Հետևաբար, P(A | B)=P(A): Նմանապես, B-ն անկախ է A-ից, եթե P(B)=P(B | A): Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ եթե A-ն և B-ն անկախ իրադարձություններ են, ապա P(A∩B)=P(A). P(B)
Ենթադրենք, որ համարակալված խորանարդը պտտվում է, իսկ գեղեցիկ մետաղադրամը շրջվում է: Թող A-ն լինի այն իրադարձությունը, որով ստացվում է գլուխ, իսկ B-ն այն իրադարձությունն է, որով պտտվում է զույգ թիվը: Այնուհետև կարող ենք եզրակացնել, որ A և B իրադարձությունները անկախ են, քանի որ մեկի այդ արդյունքը չի ազդում մյուսի արդյունքի վրա: Հետեւաբար, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4: Քանի որ P(A∩B)≠0, A-ն և B-ն չեն կարող միմյանց բացառող լինել:
Ենթադրենք, որ կարասը պարունակում է 7 սպիտակ մարմար և 8 սև մարմար: Իրադարձությունը A-ն սահմանեք որպես սպիտակ մարմար նկարելը, իսկ իրադարձությունը B-ն որպես սև մարմար նկարելը: Ենթադրելով, որ յուրաքանչյուր մարմար կփոխարինվի իր գույնը նշելուց հետո, ապա P(A) և P(B)-ը միշտ նույնը կլինեն, անկախ նրանից, թե քանի անգամ ենք մենք նկարում urn-ից: Մարմարները փոխարինելը նշանակում է, որ հավանականությունները չեն փոխվում խաղարկությունից նկարչություն, անկախ նրանից, թե ինչ գույն ենք ընտրել վերջին խաղարկությանը: Հետևաբար, իրադարձությունները A և B անկախ են:
Սակայն եթե մարմարները գծվել են առանց փոխարինման, ապա ամեն ինչ փոխվում է։ Այս ենթադրության համաձայն՝ A և B իրադարձությունները անկախ չեն: Առաջին անգամ սպիտակ մարմար նկարելը փոխում է երկրորդ խաղարկության վրա սև մարմար նկարելու հավանականությունը և այլն: Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր ոչ-ոքի ազդեցություն է ունենում հաջորդ խաղարկության վրա, և հետևաբար առանձին խաղարկություններն անկախ չեն:
Տարբերություն փոխադարձ բացառիկ և անկախ իրադարձությունների միջև
– Իրադարձությունների փոխադարձ բացառիկությունը նշանակում է, որ A և B բազմությունների միջև համընկնում չկա: Իրադարձությունների անկախությունը նշանակում է, որ A-ի տեղի ունենալը չի ազդում B-ի տեղի վրա:
– Եթե երկու իրադարձություններ A և B իրարամերժ են, ապա P(A∩B)=0:
– Եթե երկու իրադարձություն A և B անկախ են, ապա P(A∩B)=P(A). P(B)
