Հստակ ընդդեմ անորոշ ինտեգրալներ
Հաշիվը մաթեմատիկայի կարևոր ճյուղ է, և տարբերակումը կարևոր դեր է խաղում հաշվում: Տարբերակման հակադարձ գործընթացը հայտնի է որպես ինտեգրացիա, իսկ հակադարձը՝ որպես ինտեգրալ, կամ պարզ ասած՝ տարբերակման հակադարձը տալիս է ինտեգրալ։ Նրանց ստացած արդյունքների հիման վրա ինտեգրալները բաժանվում են երկու դասի. որոշյալ և անորոշ ինտեգրալներ։
Ավելին անորոշ ինտեգրալների մասին
Անորոշ ինտեգրալը ավելի շուտ ինտեգրման ընդհանուր ձև է և այն կարելի է մեկնաբանել որպես դիտարկված ֆունկցիայի հակաածանցյալ։Ենթադրենք, F-ի տարբերակումը տալիս է f, իսկ f-ի ինտեգրումը տալիս է ինտեգրալը: Այն հաճախ գրվում է որպես F(x)=∫ƒ(x)dx կամ F=∫ƒ dx, որտեղ և՛ F-ն, և՛ ƒ-ը x-ի ֆունկցիաներն են, իսկ F-ը տարբերվող է: Վերոնշյալ ձևով այն կոչվում է Ռեյմանի ինտեգրալ և ստացված ֆունկցիան ուղեկցում է կամայական հաստատուն: Անորոշ ինտեգրալը հաճախ առաջացնում է ֆունկցիաների ընտանիք. հետևաբար, ինտեգրալն անորոշ է։
Ինտեգրալները և ինտեգրման գործընթացը դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման հիմքում են: Այնուամենայնիվ, ի տարբերություն տարբերակման, ինտեգրումը միշտ չէ, որ հետևում է հստակ և ստանդարտ առօրյայի. Երբեմն լուծումը չի կարող բացահայտ արտահայտվել տարրական ֆունկցիայի առումով: Այդ դեպքում անալիտիկ լուծումը հաճախ տրվում է անորոշ ինտեգրալի տեսքով։
Ավելին հստակ ինտեգրալների մասին
Հստակ ինտեգրալները անորոշ ինտեգրալների շատ արժեքավոր գործընկերներն են, որտեղ ինտեգրման գործընթացն իրականում արտադրում է վերջավոր թիվ:Այն կարող է գրաֆիկորեն սահմանվել որպես տվյալ ինտերվալի ընթացքում ƒ ֆունկցիայի կորով սահմանափակված տարածք։ Ամեն անգամ, երբ ինտեգրումն իրականացվում է անկախ փոփոխականի որոշակի միջակայքում, ինտեգրումն առաջացնում է որոշակի արժեք, որը հաճախ գրվում է որպես a∫bƒ(x) dx կամ a∫b ƒdx.
Անորոշ ինտեգրալները և որոշակի ինտեգրալները փոխկապակցված են հաշվարկի առաջին հիմնարար թեորեմի միջոցով, և դա թույլ է տալիս որոշակի ինտեգրալը հաշվարկել անորոշ ինտեգրալների միջոցով: Թեորեմն ասում է a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), որտեղ և՛ F, և՛ ƒ x-ի ֆունկցիաներ են, և F-ը տարբերելի է (a, b) միջակայքում։ Հաշվի առնելով միջակայքը՝ a-ն և b-ն համապատասխանաբար հայտնի են որպես ստորին և վերին սահման:
Միայն իրական ֆունկցիաներով դադարեցնելու փոխարեն, ինտեգրումը կարող է ընդլայնվել բարդ ֆունկցիաների վրա, և այդ ինտեգրալները կոչվում են ուրվագծային ինտեգրալներ, որտեղ ƒ-ը կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա է:
Ո՞րն է տարբերությունը որոշակի և անորոշ ինտեգրալների միջև:
Անորոշ ինտեգրալները ներկայացնում են ֆունկցիայի հակաածանցյալը և հաճախ ֆունկցիաների ընտանիքը, այլ ոչ թե որոշակի լուծում: Որոշակի ինտեգրալներում ինտեգրումը տալիս է վերջավոր թիվ։
Անորոշ ինտեգրալները կապում են կամայական փոփոխականի (հետևաբար՝ ֆունկցիաների ընտանիքը), իսկ որոշակի ինտեգրալները չունեն կամայական հաստատուն, այլ ինտեգրման վերին սահման և ստորին սահման:
Անորոշ ինտեգրալը սովորաբար տալիս է դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում:
