Պատահական փոփոխականներ ընդդեմ հավանականության բաշխման
Վիճակագրական փորձերը պատահական փորձեր են, որոնք կարող են անորոշ ժամանակով կրկնվել արդյունքների հայտնի փաթեթով: Նման փորձերի հետ կապված են և՛ պատահական փոփոխականները, և՛ հավանականության բաշխումները: Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի համար կա կապված հավանականության բաշխում, որը սահմանվում է մի ֆունկցիայով, որը կոչվում է կուտակային բաշխման ֆունկցիա:
Ի՞նչ է պատահական փոփոխականը:
Պատահական փոփոխականը ֆունկցիա է, որը թվային արժեքներ է վերագրում վիճակագրական փորձի արդյունքներին: Այլ կերպ ասած, դա վիճակագրական փորձի ընտրանքային տարածությունից իրական թվերի բազմության մեջ սահմանվող ֆունկցիա է։
Օրինակ, դիտարկեք մետաղադրամը երկու անգամ շրջելու պատահական փորձ: Հնարավոր արդյունքներն են՝ HH, HT, TH և TT (H – գլուխներ, T – հեքիաթներ): Թող X փոփոխականը լինի փորձի ժամանակ դիտարկված գլուխների թիվը: Այնուհետև X-ը կարող է վերցնել 0, 1 կամ 2 արժեքները, և դա պատահական փոփոխական է: Այստեղ պատահական X փոփոխականը S={HH, HT, TH, TT} բազմությունը (նմուշի տարածությունը) կկազմակերպի {0, 1, 2} բազմությանը այնպես, որ HH-ը գծագրվի 2-ին, HT-ին և TH-ին: քարտեզագրվում են 1-ի, իսկ TT-ն՝ 0-ի: Ֆունկցիայի նշագրման մեջ սա կարելի է գրել X: S → R, որտեղ X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 և X(TT)=0.
Կա երկու տեսակի պատահական փոփոխականներ՝ դիսկրետ և շարունակական, համապատասխանաբար, այն հնարավոր արժեքների թիվը, որոնք պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել, առավելագույնը հաշվելի է, թե ոչ: Նախորդ օրինակում X պատահական փոփոխականը դիսկրետ պատահական փոփոխական է, քանի որ {0, 1, 2}-ը վերջավոր բազմություն է: Այժմ դիտարկենք դասարանում սովորողների կշիռները գտնելու վիճակագրական փորձը: Թող Y լինի պատահական փոփոխականը, որը սահմանվում է որպես ուսանողի կշիռ:Y-ը կարող է ցանկացած իրական արժեք վերցնել որոշակի ընդմիջումով: Հետևաբար, Y-ը շարունակական պատահական փոփոխական է:
Ի՞նչ է հավանականության բաշխումը:
Հավանականության բաշխումը ֆունկցիա է, որը նկարագրում է պատահական փոփոխականի որոշակի արժեքներ ընդունելու հավանականությունը:
Կումուլյատիվ բաշխման ֆունկցիա (F) կոչվող ֆունկցիան կարող է սահմանվել իրական թվերի բազմությունից մինչև իրական թվերի բազմությունը որպես F(x)=P(X ≤ x) (X-ի հավանականությունը փոքր է կամ հավասար x) յուրաքանչյուր հնարավոր արդյունքի համար x. Այժմ X-ի կուտակային բաշխման ֆունկցիան առաջին օրինակում կարելի է գրել որպես F(a)=0, եթե a<0; F(a)=0.25, եթե 0≤a<1; F(a)=0.75, եթե 1≤a<2 և F(a)=1, եթե a≥2.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականների դեպքում հնարավոր արդյունքների բազմությունից մինչև իրական թվերի բազմություն կարող է սահմանվել ֆունկցիա այնպես, որ ƒ(x)=P(X=x) (X-ի հավանականությունը x) յուրաքանչյուր հնարավոր արդյունքի համար x. Այս հատուկ ֆունկցիան ƒ կոչվում է X պատահական փոփոխականի հավանականության զանգվածի ֆունկցիա։Այժմ X-ի հավանականության զանգվածի ֆունկցիան առաջին կոնկրետ օրինակում կարելի է գրել որպես ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, իսկ հակառակ դեպքում ƒ(x)=0: Այսպիսով, հավանականության զանգվածի ֆունկցիան կուտակային բաշխման ֆունկցիայի հետ միասին կնկարագրի X-ի հավանականության բաշխումը առաջին օրինակում:
Շարունակական պատահական փոփոխականների դեպքում հավանականության խտության ֆունկցիա (ƒ) կոչվող ֆունկցիան կարող է սահմանվել որպես ƒ(x)=dF(x)/dx յուրաքանչյուր x-ի համար, որտեղ F-ը բաշխման կուտակային ֆունկցիան է: շարունակական պատահական փոփոխական: Հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիան բավարարում է ∫ƒ(x)dx=1: Հավանականության խտության ֆունկցիան կուտակային բաշխման ֆունկցիայի հետ միասին նկարագրում է շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը: Օրինակ, նորմալ բաշխումը (որը հավանականության շարունակական բաշխում է) նկարագրված է օգտագործելով հավանականության խտության ֆունկցիան ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- μ)]2/(2σ2)).
Ո՞րն է տարբերությունը պատահական փոփոխականների և հավանականության բաշխման միջև:
• Պատահական փոփոխականը ֆունկցիա է, որը կապում է նմուշի տարածքի արժեքները իրական թվի հետ:
• Հավանականության բաշխումը ֆունկցիա է, որը փոխկապակցում է այն արժեքները, որոնք պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել համապատասխան առաջացման հավանականության հետ:
