Հավանականության բաշխման ֆունկցիա ընդդեմ հավանականության խտության ֆունկցիայի
Հավանականությունը իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունն է: Այս գաղափարը շատ տարածված է և հաճախ օգտագործվում է առօրյա կյանքում, երբ մենք գնահատում ենք մեր հնարավորությունները, գործարքները և շատ այլ բաներ: Այս պարզ հայեցակարգի ընդլայնումը իրադարձությունների ավելի մեծ շարքի վրա մի փոքր ավելի դժվար է: Օրինակ, մենք չենք կարող հեշտությամբ պարզել վիճակախաղում շահելու հնարավորությունները, բայց հարմար է, բավականին ինտուիտիվ, ասել, որ վեցից մեկի հավանականությունը կա, որ մենք նետված զառի մեջ կստանանք վեց թիվը:
Երբ իրադարձությունների թիվը, որոնք կարող են տեղի ունենալ, մեծանում է, կամ անհատական հնարավորությունների թիվը մեծ է, հավանականության այս բավականին պարզ գաղափարը ձախողվում է: Հետևաբար, այն պետք է տրվի ամուր մաթեմատիկական սահմանում ավելի բարձր բարդությամբ խնդիրներին մոտենալուց առաջ:
Երբ իրադարձությունների թիվը, որոնք կարող են տեղի ունենալ մեկ իրավիճակում, մեծ է, անհնար է յուրաքանչյուր իրադարձություն առանձին համարել այնպես, ինչպես նետված զառերի օրինակում: Այսպիսով, իրադարձությունների ամբողջ հավաքածուն ամփոփվում է պատահական փոփոխականի հայեցակարգի ներդրմամբ: Այն փոփոխական է, որը կարող է ընդունել տվյալ իրավիճակում (կամ նմուշի տարածության) տարբեր իրադարձությունների արժեքները: Այն տալիս է մաթեմատիկական իմաստ իրավիճակի պարզ իրադարձություններին և իրադարձությանը անդրադառնալու մաթեմատիկական եղանակին: Ավելի ճիշտ, պատահական փոփոխականը իրական արժեքի ֆունկցիա է նմուշի տարածության տարրերի վրա: Պատահական փոփոխականները կարող են լինել կամ դիսկրետ կամ շարունակական: Նրանք սովորաբար նշվում են անգլերեն այբուբենի մեծատառերով:
Հավանականության բաշխման ֆունկցիան (կամ պարզապես հավանականության բաշխումը) ֆունկցիա է, որը վերագրում է հավանականության արժեքները յուրաքանչյուր իրադարձության համար; այսինքն՝ այն կապ է տալիս այն արժեքների հավանականություններին, որոնք կարող է վերցնել պատահական փոփոխականը:Հավանականության բաշխման ֆունկցիան սահմանվում է դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար։
Հավանականության խտության ֆունկցիան շարունակական պատահական փոփոխականների համար հավանականության բաշխման ֆունկցիայի համարժեքն է, որը տալիս է որոշակի պատահական փոփոխականի որոշակի արժեք ընդունելու հավանականությունը:
Եթե X-ը դիսկրետ պատահական փոփոխական է, ֆունկցիան, որը տրված է որպես f (x)=P (X=x) X-ի միջակայքում գտնվող յուրաքանչյուր x-ի համար, կոչվում է հավանականության բաշխման ֆունկցիա: Ֆունկցիան կարող է ծառայել որպես հավանականության բաշխման ֆունկցիա, եթե և միայն այն դեպքում, եթե ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմանները։
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
F (x) ֆունկցիան, որը սահմանվում է իրական թվերի բազմության վրա, կոչվում է X շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտության ֆունկցիա, եթե և միայն եթե, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx ցանկացած իրական հաստատունների համար a և b.
Հավանականության խտության ֆունկցիան պետք է բավարարի նաև հետևյալ պայմանները։
1. f (x) ≥ 0 բոլոր x-ի համար՝ -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Եվ հավանականության բաշխման ֆունկցիան և հավանականության խտության ֆունկցիան օգտագործվում են նմուշի տարածության վրա հավանականությունների բաշխումը ներկայացնելու համար: Սովորաբար դրանք կոչվում են հավանականության բաշխումներ:
Վիճակագրական մոդելավորման համար ստացվում են հավանականության խտության ստանդարտ ֆունկցիաները և հավանականության բաշխման ֆունկցիաները: Նորմալ բաշխումը և ստանդարտ նորմալ բաշխումը շարունակական հավանականության բաշխման օրինակներ են: Երկանդամ բաշխումը և Պուասոնի բաշխումը դիսկրետ հավանականության բաշխման օրինակներ են։
Ո՞րն է տարբերությունը հավանականության բաշխման և հավանականության խտության ֆունկցիայի միջև:
• Հավանականության բաշխման ֆունկցիան և հավանականության խտության ֆունկցիան ֆունկցիաներ են, որոնք սահմանվում են նմուշի տարածության վրա՝ յուրաքանչյուր տարրին համապատասխան հավանականության արժեքը վերագրելու համար:
• Հավանականության բաշխման ֆունկցիաները սահմանվում են դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար, մինչդեռ հավանականության խտության ֆունկցիաները սահմանվում են շարունակական պատահական փոփոխականների համար:
• Հավանականության արժեքների բաշխումը (այսինքն՝ հավանականության բաշխումը) լավագույնս ներկայացված է հավանականության խտության ֆունկցիայի և հավանականության բաշխման ֆունկցիայի միջոցով:
• Հավանականության բաշխման ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես արժեքներ աղյուսակում, սակայն դա հնարավոր չէ հավանականության խտության ֆունկցիայի համար, քանի որ փոփոխականը շարունակական է:
• Երբ գծագրվում է, հավանականության բաշխման ֆունկցիան տալիս է գծապատկեր, մինչդեռ հավանականության խտության ֆունկցիան տալիս է կոր:
• Հավանականության բաշխման ֆունկցիայի ձողերի բարձրությունը/երկարությունը պետք է ավելանա 1-ի, մինչդեռ հավանականության խտության ֆունկցիայի կորի մակերեսը պետք է ավելանա 1-ի:
• Երկու դեպքում էլ ֆունկցիայի բոլոր արժեքները պետք է լինեն ոչ բացասական:
