Տարբերություն թվաբանական հաջորդականության և երկրաչափական հաջորդականության միջև

2024 Հեղինակ: Alex Aldridge | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-17 23:35

Թվաբանական հաջորդականություն ընդդեմ երկրաչափական հաջորդականության

Թվերի օրինաչափությունների և դրանց վարքագծի ուսումնասիրությունը կարևոր ուսումնասիրություն է մաթեմատիկայի ոլորտում: Հաճախ այդ օրինաչափությունները կարելի է տեսնել բնության մեջ և օգնում են մեզ բացատրել դրանց վարքը գիտական տեսանկյունից: Թվաբանական հաջորդականությունները և երկրաչափական հաջորդականությունները երկու հիմնական օրինաչափություններ են, որոնք հանդիպում են թվերի մեջ և հաճախ հանդիպում են բնական երևույթների մեջ:

Հաջորդականությունը դասավորված թվերի հավաքածու է: Հերթականության տարրերի թիվը կարող է լինել վերջավոր կամ անվերջ:

Ավելին թվաբանական հաջորդականության մասին (թվաբանական առաջընթաց)

Թվաբանական հաջորդականությունը սահմանվում է որպես թվերի հաջորդականություն՝ յուրաքանչյուր հաջորդական անդամի միջև հաստատուն տարբերությամբ: Այն նաև հայտնի է որպես թվաբանական առաջընթաց։

Թվաբանական հաջորդականություն ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; որտեղ a₂ =a₁ + դ, a₃ =a_{2+ դ և այլն։}

Եթե սկզբնական անդամը a₁ է, իսկ ընդհանուր տարբերությունը d է, ապա հաջորդականության n^{-րդ անդամը տրվում է.}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Վերոնշյալ արդյունքը հետագայում վերցնելով, n^{-րդ տերմինը կարող է տրվել նաև որպես;}

a_n =a_m + (n-m)d, որտեղ a_{m-ը պատահական անդամ է այնպիսի հաջորդականությամբ, որ n > մ.}

Զույգ թվերի բազմությունը և կենտ թվերի բազմությունը թվաբանական հաջորդականությունների ամենապարզ օրինակներն են, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդականություն ունի ընդհանուր տարբերություն (դ) 2:

Հաջորդականության անդամների թիվը կարող է լինել կամ անվերջ կամ վերջավոր:Անսահման դեպքում (n → ∞) հաջորդականությունը հակված է անվերջության՝ կախված ընդհանուր տարբերությունից (a_{n → ±∞): Եթե ընդհանուր տարբերությունը դրական է (d > 0), ապա հաջորդականությունը հակված է դեպի դրական անվերջություն, իսկ եթե ընդհանուր տարբերությունը բացասական է (d < 0), ապա այն հակված է դեպի բացասական անվերջություն: Եթե տերմինները վերջավոր են, ապա հաջորդականությունը նույնպես վերջավոր է։}

Թվաբանական հաջորդականության տերմինների գումարը հայտնի է որպես թվաբանական շարք՝ S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{և S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] տալիս է արժեքը շարք (S}n)

Ավելին երկրաչափական հաջորդականության մասին (երկրաչափական առաջընթաց)

Երկրաչափական հաջորդականությունը սահմանվում է որպես հաջորդականություն, որտեղ ցանկացած երկու հաջորդական անդամների քանորդը հաստատուն է: Սա նաև հայտնի է որպես երկրաչափական առաջընթաց։

Երկրաչափական հաջորդականություն ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; որտեղ a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r և այլն, որտեղ r-ն իրական թիվ է։}

Ավելի հեշտ է ներկայացնել երկրաչափական հաջորդականությունը՝ օգտագործելով ընդհանուր հարաբերակցությունը (r) և սկզբնական անդամը (a): Այսպիսով, երկրաչափական հաջորդականությունը ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

n^-րդ տերմինների ընդհանուր ձևը տրված a_n =a₁r ^n-1. (Կորցնում է սկզբնական տերմինի նիշը ⇒ a_n =ar^n-1)

Երկրաչափական հաջորդականությունը կարող է լինել նաև վերջավոր կամ անվերջ: Եթե տերմինների թիվը վերջավոր է, ապա հաջորդականությունը համարվում է վերջավոր: Եվ եթե անդամներն անվերջ են, ապա հաջորդականությունը կարող է լինել կա՛մ անվերջ, կա՛մ վերջավոր՝ կախված r հարաբերակցությունից: Ընդհանուր հարաբերակցությունը ազդում է երկրաչափական հաջորդականությունների շատ հատկությունների վրա:

r > o	0 < r < +1	Հաջորդականությունը համընկնում է – էքսպոնենցիալ քայքայում, այսինքն՝ an → 0, n → ∞
	r=1	Հաստատուն հաջորդականություն, այսինքն՝ an=հաստատուն
	r > 1	Հաջորդականությունը շեղվում է – էքսպոնենցիալ աճ, այսինքն՝ an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Հաջորդականությունը տատանվում է, բայց համընկնում է
	r=1	Հաջորդականությունը փոփոխական է և հաստատուն, այսինքն՝ an=±հաստատուն
	r < -1	Հաջորդականությունը փոփոխական է և տարբերվում է: այսինքն an → ±∞, n → ∞
r=0	Հաջորդականությունը զրոների շարան է

N. B. Վերը նշված բոլոր դեպքերում a₁ > 0; եթե a₁ < 0, ապա _{n-ի հետ կապված նշանները կշրջվեն:}

Գնդակի ցատկերի միջև ընկած ժամանակահատվածը իդեալական մոդելում հետևում է երկրաչափական հաջորդականությանը, և դա կոնվերգենտ հաջորդականություն է:

Երկրաչափական հաջորդականության տերմինների գումարը հայտնի է որպես երկրաչափական շարք; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i: Երկրաչափական շարքի գումարը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); որտեղ a-ն սկզբնական անդամն է, իսկ r-ը՝ հարաբերակցությունը։}

Եթե հարաբերակցությունը, r ≤ 1, շարքը համընկնում է: Անսահման շարքի համար կոնվերգենցիայի արժեքը տրվում է S_{n=a/(1-r)-ով}

Ո՞րն է տարբերությունը թվաբանական և երկրաչափական հաջորդականության/առաջընթացի միջև:

• Թվաբանական հաջորդականության մեջ ցանկացած երկու հաջորդական անդամ ունեն ընդհանուր տարբերություն (d), մինչդեռ երկրաչափական հաջորդականության դեպքում ցանկացած երկու հաջորդական անդամ ունեն հաստատուն գործակից (r):

• Թվաբանական հաջորդականության մեջ տերմինների փոփոխությունը գծային է, այսինքն՝ կարելի է ուղիղ գիծ գծել՝ անցնելով բոլոր կետերով։ Երկրաչափական շարքում տատանումները էքսպոնենցիալ են. կա՛մ աճում է, կա՛մ քայքայվում՝ հիմնվելով ընդհանուր հարաբերակցության վրա։

• Բոլոր անվերջ թվաբանական հաջորդականությունները դիվերգենտ են, մինչդեռ անվերջ երկրաչափական շարքերը կարող են լինել կամ դիվերգենտ կամ կոնվերգենտ:

• Երկրաչափական շարքը կարող է ցույց տալ տատանումներ, եթե r հարաբերակցությունը բացասական է, մինչդեռ թվաբանական շարքը չի ցուցադրում տատանում