Հիպերբոլա ընդդեմ Էլիպսի
Երբ կոնը կտրվում է տարբեր անկյուններով, կոնի եզրով տարբեր կորեր են նշվում: Այս կորերը հաճախ կոչվում են կոնաձև հատվածներ: Ավելի ճիշտ՝ կոնային հատվածը կոր է, որը ստացվում է աջ շրջանաձև կոն մակերևույթը հարթ մակերեսի հետ հատելու միջոցով։ Խաչմերուկի տարբեր անկյուններում տրված են տարբեր կոնաձև հատվածներ։
Եվ հիպերբոլան և էլիպսը կոնաձև հատվածներ են, և դրանց տարբերությունները հեշտությամբ համեմատվում են այս համատեքստում:
Ավելին Էլիպսի մասին
Երբ կոնաձև մակերևույթի և հարթ մակերեսի հատումը առաջացնում է փակ կոր, այն հայտնի է որպես էլիպս: Այն ունի էքսցենտրիկություն զրոյի և մեկի միջև (0<e<1): Այն կարող է նաև սահմանվել որպես հարթության վրա գտնվող կետերի բազմության վայր, որպեսզի երկու ֆիքսված կետերից մինչև կետ հեռավորությունների գումարը մնա հաստատուն: Այս երկու ֆիքսված կետերը հայտնի են որպես «կիզակետեր»: (Հիշեք. մաթեմատիկայի տարրական դասարաններում էլիպսները գծվում են երկու ֆիքսված կապանքներին կապված թելով կամ լարային հանգույցով և երկու կապումով:)
Կիզակետերով անցնող գծի հատվածը հայտնի է որպես հիմնական առանցք, իսկ հիմնական առանցքին ուղղահայաց և էլիպսի կենտրոնով անցնող առանցքը հայտնի է որպես փոքր առանցք:Յուրաքանչյուր առանցքի երկայնքով տրամագիծը հայտնի է որպես լայնակի տրամագիծ և զուգակցված տրամագիծ: Հիմնական առանցքի կեսը հայտնի է որպես կիսամյակային առանցք, իսկ փոքր առանցքի կեսը հայտնի է որպես կիսափոքր առանցք:
Յուրաքանչյուր F1 և F2 հայտնի են որպես էլիպսի կիզակետեր և երկարություններ F1 + PF2 =2a, որտեղ P-ը կամայական կետ է էլիպսի վրա: Էքսցենտրիկությունը e-ն սահմանվում է որպես կիզակետից մինչև կամայական կետ հեռավորության (PF 2) և կամայական կետին ուղղահայաց հեռավորության հարաբերությունը ուղղաձիգից (PD): Այն նաև հավասար է երկու օջախների և կիսահիմնական առանցքի միջև եղած հեռավորությանը. e=PF/PD=f/a
Էլիպսի ընդհանուր հավասարումը, երբ կիսամեծ առանցքը և կիսափոքր առանցքը համընկնում են դեկարտյան առանցքների հետ, տրված է հետևյալ կերպ։
x2/a2 + y2/b2=1
Էլիպսի երկրաչափությունը բազմաթիվ կիրառություններ ունի, հատկապես ֆիզիկայում։Արեգակնային համակարգում մոլորակների ուղեծրերը էլիպսաձև են, արևը որպես մեկ կիզակետ: Անտենաների և ակուստիկ սարքերի արտացոլիչները պատրաստված են էլիպսաձև ձևով, որպեսզի օգտվեն այն հանգամանքից, որ ցանկացած արտանետում ֆոկուսից կմիանա մյուս ֆոկուսին:
Ավելին հիպերբոլայի մասին
Հիպերբոլան նույնպես կոնաձև հատված է, բայց այն բաց է: Հիպերբոլա տերմինը վերաբերում է նկարում ներկայացված երկու անջատված կորերին: Էլիպսի պես փակվելու փոխարեն հիպերբոլայի թեւերը կամ ճյուղերը շարունակում են անսահմանություն:
Կետերը, որտեղ երկու ճյուղերն ունեն իրենց միջև ամենակարճ հեռավորությունը, հայտնի են որպես գագաթներ: Գագաթների միջով անցնող գիծը համարվում է հիմնական առանցք կամ լայնակի առանցք և հիպերբոլայի հիմնական առանցքներից մեկն է:Պարաբոլայի երկու կիզակետերը նույնպես ընկած են հիմնական առանցքի վրա։ Երկու գագաթների միջև գծի միջնակետը կենտրոնն է, իսկ գծի հատվածի երկարությունը՝ կիսամյակային հիմնական առանցքը։ Կիսահիմնական առանցքի ուղղահայաց կիսորդը մյուս հիմնական առանցքն է, և հիպերբոլայի երկու կորերը սիմետրիկ են այս առանցքի շուրջ: Պարաբոլայի էքսցենտրիկությունը մեկից մեծ է. e > 1.
Եթե հիմնական առանցքները համընկնում են դեկարտյան առանցքների հետ, ապա հիպերբոլայի ընդհանուր հավասարումն ունի՝ ձևը.
x2/a2 – y2/b2=1,
որտեղ a-ն կիսահիմնական առանցքն է, իսկ b-ը՝ հեռավորությունը կենտրոնից մինչև կիզակետ:
Հիպերբոլաները բաց ծայրերով դեպի x-առանցքը հայտնի են որպես արևելք-արևմուտք հիպերբոլաներ: Նմանատիպ հիպերբոլաներ կարելի է ձեռք բերել նաև y առանցքի վրա: Դրանք հայտնի են որպես y առանցքի հիպերբոլաներ: Նման հիպերբոլաների հավասարումը ստանում էձևը
y2/a2 – x2/b2=1
Ո՞րն է տարբերությունը հիպերբոլայի և Էլիպսի միջև:
• Ե՛վ էլիպսները, և՛ հիպերբոլան կոնաձեւ հատվածներ են, սակայն էլիպսը փակ կոր է, մինչդեռ հիպերբոլան բաղկացած է երկու բաց կորերից։
• Հետևաբար, էլիպսն ունի վերջավոր պարագիծ, իսկ հիպերբոլան ունի անսահման երկարություն։
• Երկուսն էլ սիմետրիկ են իրենց հիմնական և փոքր առանցքի շուրջ, բայց ուղղիչի դիրքը տարբեր է յուրաքանչյուր դեպքում: Էլիպսում այն գտնվում է կիսահիմնական առանցքից դուրս, իսկ հիպերբոլայում՝ կիսահիմնական առանցքի մեջ։
• Երկու կոնաձև հատվածների էքսցենտրիկությունները տարբեր են։
0 <eԷլիպս < 1
eՀիպերբոլա > 0
• Երկու կորերի ընդհանուր հավասարումը կարծես նույնն է, բայց դրանք տարբեր են:
• Հիմնական առանցքի ուղղահայաց կիսորդը հատում է կորը էլիպսում, բայց ոչ հիպերբոլայում:
(Պատկերների աղբյուր՝ Վիքիպեդիա)
