Լապլասի ընդդեմ Ֆուրիեի փոխակերպումների
Եվ Լապլասի փոխակերպումը և Ֆուրիեի փոխակերպումը ինտեգրալ փոխակերպումներ են, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են որպես մաթեմատիկական մեթոդներ մաթեմատիկորեն մոդելավորված ֆիզիկական համակարգերի լուծման համար: Գործընթացը պարզ է. Բարդ մաթեմատիկական մոդելը վերածվում է ավելի պարզ, լուծելի մոդելի՝ օգտագործելով ինտեգրալ փոխակերպումը: Ավելի պարզ մոդելը լուծելուց հետո կիրառվում է հակադարձ ինտեգրալ փոխակերպումը, որը լուծում կտա սկզբնական մոդելին:
Օրինակ, քանի որ ֆիզիկական համակարգերի մեծ մասը հանգեցնում է դիֆերենցիալ հավասարումների, դրանք կարող են վերածվել հանրահաշվական կամ ավելի ցածր աստիճանի հեշտությամբ լուծելի դիֆերենցիալ հավասարումների՝ օգտագործելով ինտեգրալ փոխակերպումը: Այդ դեպքում խնդրի լուծումն ավելի հեշտ կդառնա։
Ի՞նչ է Լապլասի փոխակերպումը:
Տրված է t իրական փոփոխականի f (t) ֆունկցիան, նրա Լապլասի փոխակերպումը սահմանվում է ինտեգրալով [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (երբ որ այն գոյություն ունի), որը s կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա է: Այն սովորաբար նշվում է L { f (t)}-ով։ F (s) ֆունկցիայի հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը համարվում է f (t) ֆունկցիան այնպես, որ L { f (t)}=F (s), իսկ սովորական մաթեմատիկական նշումով մենք գրում ենք՝ L: -1{ F (s)}=f (t): Հակադարձ փոխակերպումը կարող է եզակի լինել, եթե զրոյական ֆունկցիաները թույլատրված չեն: Այս երկուսը կարելի է նույնացնել որպես գծային օպերատորներ, որոնք սահմանված են ֆունկցիայի տարածքում, և նաև հեշտ է տեսնել, որ L -1{ L { f (t)}}=f (t), եթե զրոյական ֆունկցիաները թույլատրված չեն։
Հետևյալ աղյուսակը թվարկում է ամենատարածված որոշ ֆունկցիաների Լապլասի փոխակերպումները:
Ի՞նչ է Ֆուրիեի փոխակերպումը:
Տրված է t իրական փոփոխականի f (t) ֆունկցիան, նրա Լապլասի փոխակերպումը սահմանվում է ինտեգրալով [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (երբ որ այն գոյություն ունի), և սովորաբար նշվում է F { f-ով (t)}. Հակադարձ փոխակերպումը F -1{ F (α)} տրված է [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi ինտեգրալով }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]: Ֆուրիեի փոխակերպումը նույնպես գծային է և կարելի է համարել որպես ֆունկցիայի տարածության մեջ սահմանված օպերատոր։
Օգտագործելով Ֆուրիեի փոխակերպումը, սկզբնական ֆունկցիան կարելի է գրել հետևյալ կերպ, պայմանով, որ ֆունկցիան ունի միայն վերջավոր թվով ընդհատումներ և բացարձակապես ինտեգրելի է:
Ո՞րն է տարբերությունը Լապլասի և Ֆուրիեի փոխակերպումների միջև:
- F (t) ֆունկցիայի Ֆուրյեի փոխակերպումը սահմանվում է որպես [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], մինչդեռ դրա լապլասային փոխակերպումը սահմանված է որպես [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex]։
- Ֆուրիեի փոխակերպումը սահմանվում է միայն բոլոր իրական թվերի համար սահմանված ֆունկցիաների համար, մինչդեռ Լապլասի փոխակերպումը չի պահանջում, որ ֆունկցիան սահմանվի բացասական իրական թվերի վրա:
- Ֆուրիեի փոխակերպումը Լապլասի փոխակերպման հատուկ դեպք է: Կարելի է տեսնել, որ երկուսն էլ համընկնում են ոչ բացասական իրական թվերի համար։ (այսինքն, s-ը Լապլասում պետք է լինի iα + β, որտեղ α և β իրական են այնպես, որ e β=1/ √(2ᴫ))
- Յուրաքանչյուր ֆունկցիա, որն ունի Ֆուրիեի փոխակերպում, կունենա Լապլասի փոխակերպում, բայց ոչ հակառակը:
