Furier Series vs Fourier Transform
Ֆուրիեի շարքը տարանջատում է պարբերական ֆունկցիան տարբեր հաճախականություններով և ամպլիտուդներով սինուսների և կոսինուսների գումարի: Ֆուրիեի շարքը Ֆուրիեի վերլուծության ճյուղ է և այն ներկայացվել է Ժոզեֆ Ֆուրիեի կողմից: Ֆուրիեի տրանսֆորմացիան մաթեմատիկական գործողություն է, որը խախտում է ազդանշանը իր բաղադրիչ հաճախականությունների մեջ: Ժամանակի ընթացքում փոխված սկզբնական ազդանշանը կոչվում է ազդանշանի ժամանակի տիրույթի ներկայացում: Ֆուրիեի փոխակերպումը կոչվում է ազդանշանի հաճախականության տիրույթի ներկայացում, քանի որ այն կախված է հաճախականությունից: Ինչպես ազդանշանի հաճախականության տիրույթի ներկայացումը, այնպես էլ այդ ազդանշանը հաճախականության տիրույթ փոխակերպելու համար օգտագործվող գործընթացը կոչվում են Ֆուրիեի փոխակերպում:
Ի՞նչ է Ֆուրիեի շարքը:
Ինչպես նշվեց ավելի վաղ, Ֆուրիեի շարքը պարբերական ֆունկցիայի ընդլայնումն է՝ օգտագործելով սինուսների և կոսինուսների անսահման գումարը: Ֆուրիեի շարքը սկզբնապես մշակվել է ջերմային հավասարումներ լուծելիս, սակայն հետագայում պարզվել է, որ նույն տեխնիկան կարող է օգտագործվել մաթեմատիկական խնդիրների մեծ շարք լուծելու համար, հատկապես այն խնդիրները, որոնք ներառում են մշտական գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ: Այժմ Fourier շարքը կիրառություն ունի մեծ թվով ոլորտներում, այդ թվում՝ էլեկտրատեխնիկա, թրթռումային վերլուծություն, ակուստիկա, օպտիկա, ազդանշանի մշակում, պատկերի մշակում, քվանտային մեխանիկա և էկոնոմետրիկա: Ֆուրիեի շարքերը օգտագործում են սինուսի և կոսինուսի ֆունկցիաների ուղղանկյուն հարաբերությունները: Ֆուրիեի շարքերի հաշվարկը և ուսումնասիրությունը հայտնի է որպես ներդաշնակ վերլուծություն և շատ օգտակար է կամայական պարբերական ֆունկցիաների հետ աշխատելիս, քանի որ այն թույլ է տալիս ֆունկցիան բաժանել պարզ տերմինների, որոնք կարող են օգտագործվել սկզբնական խնդրի լուծում ստանալու համար:
Ի՞նչ է Ֆուրիեի փոխակերպումը:
Ֆուրիեի տրանսֆորմացիան սահմանում է կապը ժամանակի տիրույթում ազդանշանի և հաճախականության տիրույթում դրա ներկայացման միջև: Ֆուրիեի փոխակերպումը ֆունկցիան տարրալուծում է տատանողական ֆունկցիաների։ Քանի որ սա փոխակերպում է, սկզբնական ազդանշանը կարելի է ստանալ՝ իմանալով փոխակերպումը, հետևաբար գործընթացում ոչ մի տեղեկություն չի ստեղծվում կամ կորչում: Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունն իրականում մոտիվացիա է տալիս Ֆուրիեի փոխակերպման համար: Սինուսների և կոսինուսների հատկությունների պատճառով հնարավոր է վերականգնել յուրաքանչյուր ալիքի գումարի չափը, օգտագործելով ինտեգրալը: Ֆուրիեի փոխակերպումն ունի մի քանի հիմնական հատկություններ, ինչպիսիք են գծայինությունը, թարգմանությունը, մոդուլյացիան, մասշտաբը, խոնարհումը, երկակիությունը և կոնվոլյուցիան: Ֆուրիեի փոխակերպումը կիրառվում է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեջ, քանի որ Ֆուրիեի փոխակերպումը սերտորեն կապված է Լապլասի փոխակերպման հետ: Ֆուրիեի փոխակերպումն օգտագործվում է նաև միջուկային մագնիսական ռեզոնանսում (NMR) և սպեկտրոսկոպիայի այլ տեսակներում։
Տարբերությունը Ֆուրիեի շարքի և Ֆուրիեի տրանսֆորմացիայի միջև
Ֆուրիեի շարքը պարբերական ազդանշանի ընդլայնումն է որպես սինուսների և կոսինուսների գծային համակցություն, մինչդեռ Ֆուրիեի փոխակերպումը գործընթաց կամ գործառույթ է, որն օգտագործվում է ազդանշանները ժամանակի տիրույթից հաճախականության տիրույթ փոխարկելու համար: Ֆուրիեի շարքը սահմանվում է պարբերական ազդանշանների համար, և Ֆուրիեի փոխակերպումը կարող է կիրառվել պարբերական (առանց պարբերականության) ազդանշանների վրա: Ինչպես նշվեց վերևում, Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունն իրականում մոտիվացիա է տալիս Ֆուրիեի փոխակերպման համար:
