Տարբերում ընդդեմ ածանցյալ
Դիֆերենցիալ հաշվարկում ածանցյալը և տարբերակումը սերտորեն կապված են, բայց շատ տարբեր և օգտագործվում են ֆունկցիաների հետ կապված երկու կարևոր մաթեմատիկական հասկացություններ ներկայացնելու համար:
Ի՞նչ է ածանցյալը:
Ֆունկցիայի ածանցյալը չափում է այն արագությունը, որով փոխվում է ֆունկցիայի արժեքը, երբ փոխվում է նրա մուտքագրումը: Բազմփոփոխական ֆունկցիաներում ֆունկցիայի արժեքի փոփոխությունը կախված է անկախ փոփոխականների արժեքների փոփոխության ուղղությունից։ Ուստի նման դեպքերում ընտրվում է կոնկրետ ուղղություն, և ֆունկցիան տարբերակվում է հենց այդ ուղղությամբ։Այդ ածանցյալը կոչվում է ուղղորդված ածանցյալ։ Մասնակի ածանցյալները ուղղորդված ածանցյալների հատուկ տեսակ են:
F վեկտորային արժեք ունեցող ֆունկցիայի ածանցյալը կարող է սահմանվել որպես սահման [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \մինչև 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] որտեղ էլ որ այն գոյություն ունի վերջնականապես։ Ինչպես նշվեց նախկինում, սա մեզ տալիս է f ֆունկցիայի աճի արագություն u վեկտորի ուղղությամբ: Մեկ արժեք ունեցող ֆունկցիայի դեպքում դա նվազում է մինչև ածանցյալի հայտնի սահմանումը, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ մինչև 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Օրինակ, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ամենուր տարբերվում է, իսկ ածանցյալը հավասար է սահմանին՝ [latex]\\lim_{h \\ դեպի 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], որը հավասար է [latex]3x^{2}+4[/latex]: Գործառույթների ածանցյալները, ինչպիսիք են [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] գոյություն ունեն ամենուր: Դրանք համապատասխանաբար հավասար են [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] ֆունկցիաներին։
Սա հայտնի է որպես առաջին ածանցյալ: Սովորաբար f ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը նշվում է f (1) Այժմ օգտագործելով այս նշումը, հնարավոր է սահմանել ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ: [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex]-ը երկրորդ կարգի ուղղորդված ածանցյալ է և նշանակում է n -րդ ածանցյալը f (n)-ով: յուրաքանչյուր n-ի համար, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], սահմանում է n th ածանցյալը։
Ի՞նչ է տարբերակումը:
Դիֆերենցումը դիֆերենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու գործընթաց է։ D-օպերատորը, որը նշվում է D-ով, ներկայացնում է տարբերակումը որոշ համատեքստերում: Եթե x-ը անկախ փոփոխական է, ապա D ≡ d/dx: D-օպերատորը գծային օպերատոր է, այսինքն՝ ցանկացած երկու տարբերակվող f և g ֆունկցիաների և c հաստատունի համար, հետևյալ հատկությունները պահպանվում են:
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Օգտագործելով D-օպերատորը, տարբերակման հետ կապված մյուս կանոնները կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (զ) g – f D (g)]/ g 2 և D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Օրինակ, երբ F(x)=x 2sin x-ը տարբերակվում է x-ի նկատմամբ՝ օգտագործելով տրված կանոնները, պատասխանը կլինի 2 x sin x + x: 2cos x.
Ո՞րն է տարբերությունը տարբերակման և ածանցյալի միջև:• Ածանցյալը վերաբերում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությանը • Տարբերակումը ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու գործընթացն է: |
