Ածանցյալ ընդդեմ դիֆերենցիալ
Դիֆերենցիալ հաշվարկում ֆունկցիայի ածանցյալը և դիֆերենցիալը սերտորեն կապված են, բայց ունեն շատ տարբեր իմաստներ և օգտագործվում են տարբերվող ֆունկցիաների հետ կապված երկու կարևոր մաթեմատիկական օբյեկտներ ներկայացնելու համար:
Ի՞նչ է ածանցյալը:
Ֆունկցիայի ածանցյալը չափում է այն արագությունը, որով փոխվում է ֆունկցիայի արժեքը, երբ փոխվում է նրա մուտքագրումը: Բազմփոփոխական ֆունկցիաներում ֆունկցիայի արժեքի փոփոխությունը կախված է անկախ փոփոխականների արժեքների փոփոխության ուղղությունից։ Ուստի նման դեպքերում ընտրվում է կոնկրետ ուղղություն, և ֆունկցիան տարբերակվում է հենց այդ ուղղությամբ։Այդ ածանցյալը կոչվում է ուղղորդված ածանցյալ։ Մասնակի ածանցյալները ուղղորդված ածանցյալների հատուկ տեսակ են:
F վեկտորային արժեք ունեցող ֆունկցիայի ածանցյալը կարող է սահմանվել որպես սահման [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \մինչև 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] որտեղ էլ որ այն գոյություն ունի վերջնականապես։ Ինչպես նշվեց նախկինում, սա մեզ տալիս է f ֆունկցիայի աճի արագություն u վեկտորի ուղղությամբ: Մեկ արժեք ունեցող ֆունկցիայի դեպքում դա նվազում է մինչև ածանցյալի հայտնի սահմանումը, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ մինչև 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Օրինակ, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ամենուր տարբերվում է, իսկ ածանցյալը հավասար է սահմանին՝ [latex]\\lim_{h \\ դեպի 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], որը հավասար է [latex]3x^{2}+4[/latex]: Գործառույթների ածանցյալները, ինչպիսիք են [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] գոյություն ունեն ամենուր: Դրանք համապատասխանաբար հավասար են [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] ֆունկցիաներին։
Սա հայտնի է որպես առաջին ածանցյալ: Սովորաբար f ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը նշվում է f (1) Այժմ օգտագործելով այս նշումը, հնարավոր է սահմանել ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ: [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex]-ը երկրորդ կարգի ուղղորդված ածանցյալ է և նշանակում է n -րդ ածանցյալը f (n)-ով: յուրաքանչյուր n-ի համար, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], սահմանում է n th ածանցյալը։
Ի՞նչ է դիֆերենցիալը:
Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ներկայացնում է ֆունկցիայի փոփոխությունը անկախ փոփոխականի կամ փոփոխականների փոփոխությունների նկատմամբ: Սովորական նշումով, x մեկ փոփոխականի տրված f ֆունկցիայի համար 1 df կարգի ընդհանուր դիֆերենցիալը տրվում է [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]-ով: Սա նշանակում է, որ x-ի (այսինքն՝ d x) անվերջ փոքր փոփոխության դեպքում կլինի f (1)(x)d x փոփոխություն f-ում:
Օգտագործելով սահմանափակումներ, կարելի է այս սահմանումը ստանալ հետևյալ կերպ. Ենթադրենք, ∆ x-ը x-ի փոփոխությունն է կամայական x կետում, իսկ ∆ f-ը f ֆունկցիայի համապատասխան փոփոխությունն է: Կարելի է ցույց տալ, որ ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, որտեղ ϵ սխալն է: Այժմ սահմանը ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (օգտագործելով ածանցյալի նախկինում ասված սահմանումը) և, հետևաբար, ∆ x→ 0 ε/ ∆ x=0: Հետևաբար, հնարավոր է. Եզրակացե՛ք, որ ∆ x→ 0 ϵ=0: Այժմ, ∆ x→ 0 ∆ f նշանակելով d f և ∆ x→ 0 ∆ x որպես d x, դիֆերենցիալի սահմանումը խստորեն ստացվում է:
Օրինակ, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ֆունկցիայի դիֆերենցիալը [latex](3x^{2}+4)dx[/լատեքս].
Երկու կամ ավելի փոփոխականների ֆունկցիաների դեպքում ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը սահմանվում է որպես անկախ փոփոխականներից յուրաքանչյուրի ուղղությունների դիֆերենցիալների գումարը։ Մաթեմատիկորեն այն կարելի է նշել որպես [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Ո՞րն է տարբերությունը ածանցյալի և դիֆերենցիալի միջև:
• Ածանցյալը վերաբերում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությանը, մինչդեռ դիֆերենցիալը վերաբերում է ֆունկցիայի իրական փոփոխությանը, երբ անկախ փոփոխականը ենթարկվում է փոփոխության:
• Ածանցյալը տրված է [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], սակայն դիֆերենցիալը տրվում է [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]:
