Կարդինալ ընդդեմ Սովորական
Մեր առօրյա կյանքում թվերի օգտագործումը տարբեր իրավիճակներում կարող է տարբեր ձևեր ունենալ: Օրինակ, երբ մենք հաշվում ենք օբյեկտների հավաքածուի չափը պարզելու համար, մենք դրանք հաշվում ենք որպես մեկ, երկու, երեք և այլն: Երբ մենք ուզում ենք ինչ-որ բան հաշվել, որպեսզի հասկանանք առարկաների դիրքի իմաստը, մենք դրանք հաշվում ենք որպես առաջին, երկրորդ, երրորդ և այլն: Հաշվելու առաջին ձևում թվերը համարվում են հիմնական թվեր: Հաշվարկի երկրորդ ձևում թվերը համարվում են հերթական թվեր։ Այս համատեքստում կարդինալ և օրդինալ հասկացությունները ամբողջովին լեզվաբանության խնդիր են. կարդինալը և կարգայինը ածականներ են:
Սակայն հայեցակարգի ընդլայնումը մաթեմատիկայի բազմությունների վրա բացահայտում է շատ ավելի խորը և լայն տեսանկյուն, և այն չի կարող վերաբերվել պարզ բառերով: Այս հոդվածում մենք կփորձենք հասկանալ կարդինալ և հերթական թվերի հիմնական հասկացությունները մաթեմատիկայի մեջ:
Կարդինալ և հերթական թվերի պաշտոնական սահմանումները տրված են բազմությունների տեսության մեջ: Սահմանումները բարդ են, և դրանք կատարյալ իմաստով հասկանալու համար անհրաժեշտ է բազմությունների տեսության հիմնական գիտելիքներ: Հետևաբար, մենք կանդրադառնանք մի քանի օրինակների՝ հասկացությունները էվրիստիկորեն հասկանալու համար:
Դիտարկենք երկու հավաքածուները՝ {1, 3, 6, 4, 5, 2} և {ավտոբուս, մեքենա, լաստանավ, գնացք, ինքնաթիռ, ուղղաթիռ}: Յուրաքանչյուր բազմություն թվարկում է տարրերի մի շարք, և եթե հաշվում ենք տարրերի քանակը, ապա ակնհայտ է, որ յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով էլեմենտներ, որը 6 է: Այս եզրակացության գալով՝ մենք վերցրել ենք մի հավաքածուի չափը և համեմատել մյուսի հետ՝ օգտագործելով a. թիվ. Նման թիվը կոչվում է կարդինալ թիվ։ Հետևաբար, մենք կարող ենք ասել, որ հիմնական թիվը այն թիվն է, որը մենք կարող ենք օգտագործել վերջավոր բազմությունների չափերը համեմատելու համար:
Կրկին թվերի առաջին շարքը կարելի է դասավորել աճման կարգով՝ հաշվի առնելով յուրաքանչյուր տարրի չափը և համեմատելով դրանք։ Պատվիրելու գործընթացում համարները համարվում են կարդինալներ։ Նմանապես, բոլոր ոչ բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը կարող է դասավորվել բազմության մեջ. այսինքն՝ {0, 1, 2, 3, 4, ….}: Բայց այս դեպքում բազմության չափը դառնում է անվերջ, և այն տալը ըստ կարգերի հնարավոր չէ։ Անկախ նրանից, թե որքան մեծ թիվ եք ընտրում բազմության չափը տալու համար, այնուամենայնիվ, ձեր ընտրած բազմությունից դուրս կմնան թվեր, որոնք ոչ բացասական ամբողջ թվեր են:
Հետևաբար, մաթեմատիկոսները սահմանում են այս անսահման կարդինալին (որն առաջինն է) որպես Aleph-0, որը գրված է որպես א (եբրայերեն այբուբենի առաջին տառը): Պաշտոնապես հերթական համարը լավ պատվիրված հավաքածուի պատվերի տեսակն է: Հետևաբար, վերջավոր բազմությունների հերթական թիվը կարող է տրվել կարդինալ թվերով, իսկ անվերջ բազմությունների համար հերթականությունը տրված է տրանսվերջ թվերով, ինչպիսին է Aleph-0:
Ո՞րն է տարբերությունը կարդինալ և հերթական թվերի միջև:
• Կարդինալ թիվը այն թիվն է, որը կարող է օգտագործվել հաշվելու կամ վերջավոր կարգավորված բազմության չափը տալու համար: Բոլոր հիմնական թվերը շարքային են։
• Սովորական թվերը թվեր են, որոնք օգտագործվում են և՛ վերջավոր, և՛ անվերջ դասավորված բազմությունների չափը տալու համար: Վերջավոր կարգավորված բազմությունների չափը տրված է սովորական հինդու-արաբական հանրահաշվական թվերով, իսկ անվերջ բազմությունների չափը՝ տրանսվերջ թվերով։
