Դիսկրետ ֆունկցիա ընդդեմ շարունակական ֆունկցիա
Ֆունկցիաները մաթեմատիկական առարկաների ամենակարևոր դասերից են, որոնք լայնորեն կիրառվում են մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ենթաոլորտներում: Ինչպես ցույց են տալիս նրանց անունները, և՛ դիսկրետ ֆունկցիաները, և՛ շարունակական ֆունկցիաները երկու հատուկ տեսակի ֆունկցիաներ են:
Ֆունկցիան հարաբերություն է երկու բազմությունների միջև, որոնք սահմանված են այնպես, որ առաջին բազմության յուրաքանչյուր տարրի համար երկրորդ բազմության մեջ դրան համապատասխանող արժեքը եզակի է: Թող f լինի ֆունկցիա, որը սահմանված է A բազմությունից B բազմության մեջ: Այնուհետև յուրաքանչյուր x ϵ A-ի համար f (x) նշանը նշանակում է B բազմության եզակի արժեքը, որը համապատասխանում է x-ին:Այն կոչվում է x-ի պատկեր f-ի տակ: Հետևաբար, f հարաբերությունը A-ից B-ն ֆունկցիա է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր xϵ A և y ϵ A; եթե x=y, ապա f (x)=f (y): A բազմությունը կոչվում է f ֆունկցիայի տիրույթ, և դա այն բազմությունն է, որում սահմանված է ֆունկցիան։
Օրինակ, դիտարկենք f հարաբերությունը R-ից դեպի R, որը սահմանված է f (x)=x + 2 յուրաքանչյուր xϵ A-ի համար: Սա ֆունկցիա է, որի տիրույթը R է, քանի որ x և y յուրաքանչյուր իրական թվի համար x=y ենթադրում է f (x)=x + 2=y + 2=f (y): Բայց g հարաբերակցությունը N-ից N-ով սահմանված g (x)=a-ով, որտեղ «a»-ն x-ի պարզ գործակիցը չէ որպես g (6)=3, ինչպես նաև g (6)=2 ֆունկցիա:
Ի՞նչ է դիսկրետ ֆունկցիան:
Դիսկրետ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի տիրույթը առավելագույնը հաշվելի է: Պարզապես սա նշանակում է, որ հնարավոր է կազմել տիրույթի բոլոր տարրերը ներառող ցուցակ։
Ցանկացած վերջավոր բազմություն առավելագույնը հաշվելի է: Բնական թվերի բազմությունը և ռացիոնալ թվերի բազմությունը օրինակներ են առավելագույնը հաշվելի անվերջ բազմությունների համար:Իրական թվերի բազմությունը և իռացիոնալ թվերի բազմությունը առավելագույնը հաշվելի չեն։ Երկու հավաքածուներն էլ անհաշվելի են։ Դա նշանակում է, որ անհնար է ցուցակ կազմել, որը ներառում է այդ հավաքածուների բոլոր տարրերը։
Ամենատարածված դիսկրետ ֆունկցիաներից մեկը գործոնային ֆունկցիան է: f:N U{0}→N, որը ռեկուրսիվորեն սահմանված է f (n)=n f (n-1) յուրաքանչյուր n ≥ 1-ի և f (0)=1-ով, կոչվում է գործոնային ֆունկցիա: Նկատի ունեցեք, որ նրա N U{0} տիրույթը առավելագույնը հաշվելի է։
Ի՞նչ է շարունակական ֆունկցիան:
Թող f լինի այնպիսի ֆունկցիա, որ f տիրույթի յուրաքանչյուր k-ի համար f (x)→ f (k) որպես x → k: Ապա f-ը շարունակական ֆունկցիա է։ Սա նշանակում է, որ հնարավոր է f (x) կամայականորեն մոտեցնել f (k)-ին՝ x-ը բավականաչափ մոտեցնելով k-ին f-ի տիրույթում յուրաքանչյուր k-ի համար։
Դիտարկենք f (x)=x + 2 ֆունկցիան R-ի վրա: Կարելի է տեսնել, որ x → k, x + 2 → k + 2, այսինքն՝ f (x)→ f (k): Հետևաբար, f-ը շարունակական ֆունկցիա է։ Այժմ դիտարկենք g դրական իրական թվերի վրա g (x)=1, եթե x > 0 և g (x)=0, եթե x=0:Այսպիսով, այս ֆունկցիան շարունակական ֆունկցիա չէ, քանի որ g (x)-ի սահմանը գոյություն չունի (հետևաբար այն հավասար չէ g (0)-ին), քանի որ x → 0.
Ո՞րն է տարբերությունը դիսկրետ և շարունակական ֆունկցիաների միջև:
• Դիսկրետ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի տիրույթը առավելագույնը հաշվելի է, բայց դա չպետք է լինի շարունակական ֆունկցիաների դեպքում:
• Բոլոր շարունակական ֆունկցիաները ƒ ունեն այն հատկությունը, որ ƒ(x)→ƒ(k) որպես x → k յուրաքանչյուր x-ի և յուրաքանչյուր k-ի համար ƒ-ի տիրույթում, բայց դա այդպես չէ որոշ դիսկրետ ֆունկցիաների դեպքում:.
