Տարբերություն ինտեգրման և գումարման միջև

2024 Հեղինակ: Alex Aldridge | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-17 13:41

Ինտեգրում ընդդեմ գումարման

Վերջին դպրոցի մաթեմատիկայի մեջ ինտեգրումը և գումարումը հաճախ հանդիպում են մաթեմատիկական գործողություններում: Դրանք, կարծես, օգտագործվում են որպես տարբեր գործիքներ և տարբեր իրավիճակներում, բայց նրանք շատ սերտ հարաբերություններ ունեն:

Ավելին գումարման մասին

Գումարումը թվերի հաջորդականություն գումարելու գործողությունն է, և գործողությունը հաճախ նշվում է հունարեն Սիգմա մեծատառով: Այն օգտագործվում է գումարումը կրճատելու համար և հավասար է հաջորդականության գումարին/ընդհանուրին: Դրանք հաճախ օգտագործվում են շարքերը ներկայացնելու համար, որոնք, ըստ էության, ամփոփված անսահման հաջորդականություններ են:Դրանք կարող են օգտագործվել նաև վեկտորների, մատրիցների կամ բազմանդամների գումարը նշելու համար։

Գումարումը սովորաբար կատարվում է մի շարք արժեքների համար, որոնք կարող են ներկայացվել ընդհանուր տերմինով, օրինակ՝ շարք, որն ունի ընդհանուր տերմին: Գումարի մեկնարկային և վերջնակետը հայտնի են համապատասխանաբար որպես գումարման ստորին և վերին սահման:

Օրինակ՝ a₁, a₂, a₃, a հաջորդականության գումարը ₄, …, a_n-ը ₁ է + a₂ + a ₃ + … + a_n, որը կարելի է հեշտությամբ ներկայացնել՝ օգտագործելով գումարման նշումը որպես ∑ _i=1 a_{i; ես կոչվում է գումարման ինդեքս։}

Հավելվածի հիման վրա գումարման համար օգտագործվում են շատ տատանումներ: Որոշ դեպքերում վերին և ստորին սահմանները կարող են տրվել որպես միջակայք կամ միջակայք, օրինակ՝ ∑_1≤i≤100 a_i և ∑_{i∈[1, 100]} a_i Կամ այն կարող է տրվել որպես թվերի մի շարք, ինչպիսին է ∑_i∈P a_{i, որտեղ P-ը սահմանված բազմություն է:}

Որոշ դեպքերում կարող են օգտագործվել երկու կամ ավելի սիգմա նշաններ, սակայն դրանք կարող են ընդհանրացվել հետևյալ կերպ. ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Նաև, գումարումը հետևում է բազմաթիվ հանրահաշվական կանոնների: Քանի որ ներկառուցված գործողությունը հավելումն է, հանրահաշվի ընդհանուր կանոններից շատերը կարող են կիրառվել բուն գումարների և գումարման միջոցով պատկերված առանձին տերմինների համար:

Ավելին ինտեգրման մասին

Ինտեգրումը սահմանվում է որպես տարբերակման հակառակ գործընթաց: Բայց իր երկրաչափական տեսանկյունից այն կարելի է համարել նաև որպես ֆունկցիայի կորով և առանցքի պարփակված տարածք։ Հետևաբար, տարածքի հաշվարկը տալիս է որոշակի ինտեգրալի արժեքը, ինչպես ցույց է տրված դիագրամում:

Պատկերի աղբյուր՝

Հստակ ինտեգրալի արժեքը իրականում կորի և առանցքի ներսում գտնվող փոքր շերտերի գումարն է: Յուրաքանչյուր շերտի մակերեսը համարվում է առանցքի վրա գտնվող կետի բարձրությունը×լայնությունը: Լայնությունը արժեք է, որը մենք կարող ենք ընտրել, ասենք ∆x: Իսկ բարձրությունը մոտավորապես ֆունկցիայի արժեքն է դիտարկված կետում, ասենք f (x_{i): Դիագրամից ակնհայտ է դառնում, որ որքան փոքր են շերտերն ավելի լավ են տեղավորվում սահմանափակ տարածքի ներսում, հետևաբար արժեքի ավելի լավ մոտարկում:}

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ որոշակի ինտեգրալը, a և b կետերի միջև (այսինքն՝ [a, b] միջակայքում, որտեղ a<b), կարող է տրվել որպես I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, որտեղ n-ը շերտերի թիվն է (n=(b-a)/∆x). Տարածքի այս գումարումը կարելի է հեշտությամբ ներկայացնել՝ օգտագործելով գումարման նշումը որպես I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Քանի որ մոտարկումն ավելի լավ է, երբ ∆x-ը փոքր է, մենք կարող ենք հաշվարկել արժեքը, երբ ∆x→0: Հետևաբար, խելամիտ է ասել I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Որպես վերը նշված հայեցակարգի ընդհանրացում, մենք կարող ենք ընտրել ∆x-ը՝ հիմնվելով i-ով ինդեքսավորված դիտարկվող միջակայքի վրա (ընտրելով տարածքի լայնությունը՝ ելնելով դիրքից): Այնուհետև մենք ստանում ենք

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Սա հայտնի է որպես f (x) ֆունկցիայի Ռեյմանի ինտեգրալ [a, b] միջակայքում: Այս դեպքում a-ն և b-ն հայտնի են որպես ինտեգրալի վերին և ստորին սահման: Reimann ինտեգրալը ինտեգրման բոլոր մեթոդների հիմնական ձևն է:

Ըստ էության, ինտեգրացիան այն տարածքի գումարումն է, երբ ուղղանկյան լայնությունը անսահման փոքր է:

Ո՞րն է տարբերությունը ինտեգրման և գումարման միջև:

• Գումարումը թվերի հաջորդականության գումարումն է: Սովորաբար, գումարումը տրվում է այս ձևով. ունեն օրինաչափություն և կարող են արտահայտվել ընդհանուր տերմինի միջոցով:

• Ինտեգրումը հիմնականում այն տարածքն է, որը սահմանափակվում է ֆունկցիայի կորով, առանցքով և վերին և ստորին սահմաններով: Այս տարածքը կարող է տրվել որպես սահմանափակ տարածքի մեջ ներառված շատ ավելի փոքր տարածքների գումար:

• Գումարումը ներառում է դիսկրետ արժեքներ վերին և ստորին սահմաններով, մինչդեռ ինտեգրումը ներառում է շարունակական արժեքներ:

• Ինտեգրումը կարող է մեկնաբանվել որպես գումարման հատուկ ձև:

• Թվային հաշվարկման մեթոդներում ինտեգրումը միշտ կատարվում է որպես գումարում: